热门试卷

∵y=2x+4，故函数的定义域为（-∞，1]．

令=t，可得 x=1-t2≤1，此时t≥0，函数y=2（1-t2）+4t=4-2（t-1）2≤4，

故函数y=2x+4的值域为（-∞，4]．

由函数y= 可得 x2=≥0，即 ≤0，即 ，

解得-3≤y＜2，故函数y= 的值域为[-3，2）．

（I）f（x）=1-==，函数定义域为R，关于原点对称．

又f(-x)===-=-f(x)，所以函数f（x）是奇函数．

（Ⅱ）因为2x＞0，所以2x+1＞1，0＜＜1，

所以0＜＜2，-2＜-＜0，

即-1＜1-＜1，所以-1＜y＜1．

故函数f（x）的值域为（-1，1）．

（Ⅰ）因为f′（x）=（x2-3x+3）•ex+（2x-3）•ex

=x（x-1）•ex．…（2分）

由f′（x）＞0，解得x＞1，或x＜0；

由f′（x）＜0，得0＜x＜1，

所以f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

欲使f（x）在[-2，t]上为单调函数，则-2＜t≤0．…（4分）

（Ⅱ）证明：因为f（x）在（-∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，

所以f（x）在x=1处取得极小值e，…（6分）

又f（-2）=＜e，所以f（x）在[-2，+∞）上的最小值为f（-2），

从而当t＞-2时，f（-2）＜f（t），即n＞m．…（9分）

（Ⅲ）证：因为=x02-x0，

=(t-1)2，即为x 02-x0=(t-1)2，

令g(x)=x2-x-(t-1)2，

从而问题转化为证明方程g(x)=x2-x-(t-1)2=0在（-2，t）上有解，

下面讨论解的个数：…（11分）

因g（-2）=6-(t-1)2=-(t+2)(t-4)，

g（t）=t（t-1）-(t-1)2=(t+2)(t-1)，

所以 ①当t＞4，或-2＜t＜1时，g（-2）•g（t）＜0，

所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且只有一解，…（13分）

②当1＜t＜4时，g（-2）＞0且g（t）＞0，但由于g（0）=-(t-1)2＜0，

所以g（x）=0在（-2，t）上有解，且有两解．…（14分）

③当t=1时，g（x）=x2-x=0，∴x=0，或x=1，所以g（x）=0在（-2，t）上有仅有一解；

当t=4时，g（x）=x2-x-6=0，∴x=-2，或x=3，

所以g（x=0）在（-2，4）上也有且只有一解．…（15分）

综上所述，对于任意的t＞-2，总存在x0∈（-2，t），满足=(t-1) 2，

且当t≥4，或-2＜t≤1时，有唯一的x0适合题意；

当1＜t＜4时，有两个x0适合题意．…（16分）

（1）令a=b=0，则f（0）=f（0）+f（0）⇒f（0）=0

g（0）=g（0）•g（0）⇒g（0）=0或g（0）=1，

若g（0）=0，则g（x）=0，与条件矛盾．

故g（0）=1（也可令a=0，b=1，则不需要检验）

（2）f（x）的定义域为R，关于数0对称，

令a=x，b=-x，则f（-x）=-f（x）．

故f（x）为奇函数．

（3）当x＜0时，-x＞0，g（-x）＞1，

又g（x）•g（-x）=g（0）=1⇒0＜g（x）＜1

故∀x∈R，g（x）＞0

证法一：设x1，x2为R上任意两个实数，且x1＜x2，

则x1-x2＜0，g（x1-x2）＜1g（x1）-g（x2）

=g[（x1-x2）+x2]-g（x2）=[g（x1-x2）-1]•g（x2）＜0．

故g（x）为R上的增函数．

证法二：设x1，x2为R上任意两个实数，且x1＜x2，

==g(x1-x2)＜1

∴g（x）为R上的增函数．

（4）f（x）=2x；g（x）=2x．