- 数学归纳法
- 共1204题
给定数列{an}：
（1）判断a2是否为有理数，证明你的结论；
（2）是否存在常数M＞0．使an＜M对n∈N*都成立？若存在，找出M的一个值，并加以证明； 若不存在，说明理由．
正确答案
解：（1）a2是无理数，若不然，设
则
（2）设
则
于是
令
则
从而可取M=3（或M=4等）．则对∀n∈N*，均有an＜3成立．
解析
解：（1）a2是无理数，若不然，设
则
（2）设
则
于是
令
则
从而可取M=3（或M=4等）．则对∀n∈N*，均有an＜3成立．
用数学归纳法证明“n3+（n+1）3+（n+2）3（n∈N*）能被9整除”，要利用归纳假设证n=k+1时的情况，只需展开的式子是______．
正确答案
（k+3）3
解析
解：n=k+1时，证明“（k+1）3+（k+2）3+（k+3）3能被9整除”，根据归纳假设，n=k时，证明“k3+（k+1）3+（k+2）3能被9整除”，
所以只需展开（k+3）3．
故答案为：（k+3）3．
设
正确答案
证明：
（1）当n=1时，等式左边=a1=1，右边=
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）等式也成立，即a1+a2+…+ak-1=kak-k
当n=k+1时，a1+a2+…+ak-1+ak=（kak-k）+ak=（k+1）ak-k=
由（1）、（2）可知，对任意的n≥2，n∈N*，原等式均成立．
解析
证明：
（1）当n=1时，等式左边=a1=1，右边=
（2）假设当n=k（k≥2，k∈N*）等式也成立，即a1+a2+…+ak-1=kak-k
当n=k+1时，a1+a2+…+ak-1+ak=（kak-k）+ak=（k+1）ak-k=
由（1）、（2）可知，对任意的n≥2，n∈N*，原等式均成立．
用数学归纳法证明“2n＞n2+1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取（ ）
正确答案
解析
解：根据数学归纳法的步骤，首先要验证当n取第一个值时命题成立；
结合本题，要验证n=1时，左=21=2，右=12+1=2，2n＞n2+1不成立，
n=2时，左=22=4，右=22+1=5，2n＞n2+1不成立，
n=3时，左=23=8，右=32+1=10，2n＞n2+1不成立，
n=4时，左=24=16，右=42+1=17，2n＞n2+1不成立，
n=5时，左=25=32，右=52+1=26，2n＞n2+1成立，
因为n＞5成立，所以2n＞n2+1恒成立．
故选C．
用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n-1）2=
正确答案
（2k+1）2
解析
解：用数学归纳法证明12+32+52+…+（2n-1）2=
第二步，假设n=k时等式成立，即12+32+52+…+（2k-1）2=
那么，当n=k+1时，12+32+52+…+（2k-1）2+（2k+1）2=
等式左边增加的项是（2k+1）2，
故答案为：（2k+1）2．
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