热门试卷

证明：①当n=1时，左边=1，右边=，不等式成立；

②假设n=k（k≥1且k∈N*）时不等式成立，即1+++…+＞成立，

则当n=k+1时，因为1+++…++…+＞+…+

又因为+…+＞＞=

所以1+++…+++…+＞

即当n=k+1时不等式成立

所以由①、②可知对所有 n∈N*原不等式成立；

证明：（ⅰ）当n=2时，32＞2+3原不等式成立；

（ⅱ）假设当n=k时，不等式成立，即3k＞k+3，

则当n=k+1时，3k+1＞3k+9＞k+4，

所以当n=k+1时，不等式也成立．

综合（ⅰ）（ⅱ）知，对一切正整数n，不等式都成立．

解：（1）由题意f（n）=（2n+7）•3n+9，

所以f（1）=（2×1+7）×31+9=36；

f（2）=（2×2+7）×32+9=3×36=108；

f（3）=（2×3+7）×33+9=10×36=360；

（2）由（1）可以猜想最大m=36，

下面用数学归纳法证明，

①当n=1时，f（1）=36，显然能被36整除；

②假设n=k时f（k）能被36整除，即（2k+7）•3k+9能被36整除，

那么，当n=k+1时，

[2（k+1）+7]•3k+1+9

=[（2k+7）+2]•3k•3+9

=3[（2k+7）•3k+9]+18（3k+1-1）．

由假设可知（2k+7）•3k+9，能被36整除，

3k+1-1是偶数，∴18（3k+1-1）．也能被36整除，

由①②可知对任意n∈N*都成立．

所以最大的m值为36．