数学归纳法
共1204题

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数学归纳法
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x2-x+2，数列{an}满足递推关系式：an+1=f（an），n≥1，n∈N，且a1=1．

（1）求a2，a3，a4的值；

（2）用数学归纳法证明：当n≥5时，an＜2-；

（3）证明：当n≥5时，有．

正确答案

解：（1）根据a1=1及计算易得 …（3分）

（2）证明：①，

而＞，故a5＜2，即当n=5时，结论成立．…（5分）

②假设结论对n=k（k≥5）成立，．

因≥，而函数在x＞1时为增函数，所以

，

即当n=k+1时结论也成立．

综合①、②可知，不等式对一切n≥5都成立．…（9分）

（3）由可得，而a1=1，于是 …（11分）

于是当n≥5时，，故所以．…（14分）

解析

解：（1）根据a1=1及计算易得 …（3分）

（2）证明：①，

而＞，故a5＜2，即当n=5时，结论成立．…（5分）

②假设结论对n=k（k≥5）成立，．

因≥，而函数在x＞1时为增函数，所以

，

即当n=k+1时结论也成立．

综合①、②可知，不等式对一切n≥5都成立．…（9分）

（3）由可得，而a1=1，于是 …（11分）

于是当n≥5时，，故所以．…（14分）

题型：填空题

填空题

设f（x）=，x1=1，xn=f（xn-1）（n≥2，n∈N*）

（1）求x2，x3，x4的值；

（2）归纳并猜想{xn}的通项公式；

（3）用数学归纳法证明你的猜想．

正确答案

解析

解：（1）∵f（x）=，x1=1，xn=f（xn-1），

∴x2=f（x1）=，x3=f（x2）=，x4=f（x3）=；

（2）猜想{xn}的通项公式xn=；

（3）①n=1时，x1==1，成立；

②假设n=k时结论成立，即xk=，则

xk+1=f（xk）==，

∴n=k+1时，结论成立．

由①②可知xn=．

题型：简答题

简答题

已知正项数列{an}的前n项和Sn满足：Sn=（an+）．

（1）写出a1，a2，a3；

（2）猜想an，并给出证明．

正确答案

（1）解：（由Sn=（an+）（n∈N*），

令n=1得a1=（a1+）⇒a1=1；

令n=2得a1+a2=（a2+）⇒a2=-1；

令n=3得a1+a2+a3=（a3+），即1+（-1）+a3=（a3+），

整理得：+2a3-1=0，解得a3=-+或a3=--（因为a3＞0，故舍去）；

（2）根据（1）猜想，an=-（n∈N*）．

证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；

②假设n=k时，ak=-，

则Sk=a1+a2+…+ak=1+（-1）+（-）+…+（-）=，

则n=k+1时，由Sk+1=Sk+ak+1=+ak+1=（ak+1+），

整理得：+2ak+1-1=0，解得ak+1=-或ak+1=--（舍去），

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，an=-（n∈N*）．

解析

（1）解：（由Sn=（an+）（n∈N*），

令n=1得a1=（a1+）⇒a1=1；

令n=2得a1+a2=（a2+）⇒a2=-1；

令n=3得a1+a2+a3=（a3+），即1+（-1）+a3=（a3+），

整理得：+2a3-1=0，解得a3=-+或a3=--（因为a3＞0，故舍去）；

（2）根据（1）猜想，an=-（n∈N*）．

证明：①当n=1时，a1=1，等式成立；

②假设n=k时，ak=-，

则Sk=a1+a2+…+ak=1+（-1）+（-）+…+（-）=，

则n=k+1时，由Sk+1=Sk+ak+1=+ak+1=（ak+1+），

整理得：+2ak+1-1=0，解得ak+1=-或ak+1=--（舍去），

即n=k+1时，等式也成立；

综合①②知，an=-（n∈N*）．

题型：简答题

简答题

对任意的正整数n，猜测：2n-1与（n+1）2的大小．写出你的结论．并用数学归纳法加以证明．

正确答案

解：当n=1时2n-1＜（n+1）2

当n=2时，22-1=2＜（2+1）2

当n=3时，23-1=4＜（3+1）2

当n=4时24-1＜（4+1）2

当n=5时25-1＜（5+1）2

当n=6时 26-1＜（6+1）2

当n=7时 27-1=（7+1）2

当n=8时 28-1＞8+1）2

…

猜想当n≥8，2n-1＞（n+1）2 恒成立．

数学归纳法证明：

（1）当n=8时，28-1=128，（8+1）2=81，128＞81，2n-1＞（n+1）2 成立

（2）假设当n=k（k≥8）时不等式成立，即有2k-1＞（k+1）2

则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k+1）2=k2+[（k+2）2-2]＞（k+2）2 （∵k2-2＞0）

=[（k+1）+1]2，即是说当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）可知当n≥8，时2n-1＞（n+1）2 恒成立．

解析

解：当n=1时2n-1＜（n+1）2

当n=2时，22-1=2＜（2+1）2

当n=3时，23-1=4＜（3+1）2

当n=4时24-1＜（4+1）2

当n=5时25-1＜（5+1）2

当n=6时 26-1＜（6+1）2

当n=7时 27-1=（7+1）2

当n=8时 28-1＞8+1）2

…

猜想当n≥8，2n-1＞（n+1）2 恒成立．

数学归纳法证明：

（1）当n=8时，28-1=128，（8+1）2=81，128＞81，2n-1＞（n+1）2 成立

（2）假设当n=k（k≥8）时不等式成立，即有2k-1＞（k+1）2

则当n=k+1时，2（k+1）-1=2k=2•2k-1＞2•（k+1）2=k2+[（k+2）2-2]＞（k+2）2 （∵k2-2＞0）

=[（k+1）+1]2，即是说当n=k+1时不等式也成立．

由（1）（2）可知当n≥8，时2n-1＞（n+1）2 恒成立．

题型：简答题

简答题

用数学归纳法证明：1+++…+＜2-（n≥2）

正确答案

证明：①当n=2时，原不等式左边=，右边=，左边＜右边，不等式成立；

②假设当n=k时，原不等式成立，即1+++…+＜2-成立，

则当n=k+1时，1+++…++＜2-+=

==．

即n=k+1时原不等式也成立．

综上，对于任意n（n∈N*且n≥2）原不等式成立．

解析

证明：①当n=2时，原不等式左边=，右边=，左边＜右边，不等式成立；

②假设当n=k时，原不等式成立，即1+++…+＜2-成立，

则当n=k+1时，1+++…++＜2-+=

==．

即n=k+1时原不等式也成立．

综上，对于任意n（n∈N*且n≥2）原不等式成立．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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