热门试卷

（1）解：∵a1=1，∴，

猜想…（4分）

（2）证明：①n=1时，猜想正确．              …（5分）

②假设n=k时猜想正确，即，…（6分）

则

这说明，n=k+1时猜想正确．                        …（11分）

由①②知，…（12分）

证明：（1）由bn=an-1得an=bn+1代入an-1=an（an+1-1）得bn=（bn+1）bn+1

整理得bn-bn+1=bnbn+1，

∵bn≠0否则an=1，与a1=2矛盾

从而得，

∵b1=a1-1=1，

∴数列是首项为1，公差为1的等差数列，

∴，即．

（2）用数学归纳法证明：

①当n=1时，不等式成立；

②假设当n=k（k≥1，k∈N*）时，不等式成立，即，那么当n=k+1时==-

=

∴当n=k+1时，不等式成立

由①②知对任意的n∈N*，不等式成立．

证明：用数学归纳法证明：12-22+32-42+…+（-1）n-1•n2=（-1）n-1•．

（1）当n=1时，左边=1，右边=（-1）0=1，

故左边=右边，

∴当n=1时，等式成立；（3分）

（2）假设n=k时，等式成立，即 12-22+32-42+…+（-1）k-1•k2=（-1）k-1•．（6分）

那么12-22+32-42+…+（-1）k-1•k2+（-1）k•（k+1）2

=（-1）k-1•+（-1）k•（k+1）2

=（-1）k（-k+2k+2）

=（-1）（k+1）-1

即当n=k+1时，等式也成立． （10分）

根据（1）和（2）可知等式对任何n∈N+都成立． （12分）

（1）由已知，a1=，|an|=（n∈N*，n≥2），

∴a2=±，a3=±，

由于++=，+-=，-+=，--=

∴S3可能值为，，，．

（2）∵an=

∴n=3k（k∈N*）时，Sn=（--）+（--）+…+（--）

=（++…+）-（++…+）-（++）

=--

=[1-]（--）

=[1-]；

n=3k+1（k∈N）时，Sn=Sn-1+an=[1-]+=[1+5]；

n=3k+2（k∈N）时，Sn=Sn+1-an+1=[1-]+=[1+3]；

∴Sn=．

（3）①n=1时，S1=，命题成立．             

②假设n=k（k≥1）时命题成立，即Sk所有可能值集合为：{x|x=，m∈N*，m≤2k-1}

由假设，Sk=（m∈N*，m≤2k-1），

则当n=k+1，Sk+1=±±±…+±=Sk±=，

又Sk+1==（m∈N*，m≤2k-1），

即Sk+1=或Sk+1=（m∈N*，m≤2k-1）

即Sk+1=（m∈N*，m≤2k）∴n=k+1时，命题成立．

由①②，n∈N*，Sn所有可能值集合为{x|x=，m∈N*，m≤2n-1}．