热门试卷

解：（1）设an的首项为a1，∵a2，a5是方程x2-12x+27=0的两根，

∴，∴

∴a1=1，d=2，∴an=2n-1

n=1时，b1=T1=1-b1，∴b1=

n≥2时，，，

两式相减得bn=bn-1数列是等比数列，

∴bn=•（）n-1；

（2）Sn==n2，∴Sn+1=（n+1）2，=

n≥4时，＞Sn+1，证明如下：

下面用数学归纳法证明：①当n=4时，已证．

②假设当n=k （k∈N*，k≥4）时，＞Sk+1，即＞（k+1）2．

那么n=k+1时，==3•＞3（k+1）2=3k2+6k+3

=（k2+4k+4）+2k2+2k-1＞[（k+1）+1]2=S（k+1）+1，

∴n=k+1时，结论也成立．

由①②可知n∈N*，n≥4时，＞Sn+1都成立．

解：（1）当n=1时，a1=1，

a1=1，可得a3=3，猜想an=n．

证明如下：

当n=1，2时，猜想成立，

当n≥2时，递推式为（n-2）an-（n-1）an-1+1=0

故当n=k+1时，（k-1）ak+1-kak+1=0

即（k-1）ak+1-k2+1=0

∵k≥2，

∴k-1≠0，

∵ak+1=k+1，即n=k+1时猜想成立

∴n∈N*有an=n

（Ⅰ）解：由a1=2，得a2=-a1+1=3，由a2=3，得a3=-2a2+1=4，…（3分）

由a3=4，得a4=-3a3+1=5．

由此猜想an的一个通项公式为：an=n+1（n∈N*）．…（6分）

（Ⅱ）证明：①当n=1时，a1=2，猜想成立．…（7分）

②假设当n=k（k∈N*且k≥1）时猜想成立，即ak=k+1，

那么当n=k+1时，ak+1=ak（ak-k）+1=（k+1）（k+1-k）+1=k+2，…（11分）

也就是说，当n=k+1时，ak+1=（k+1）+1．猜想成立

根据①和②，对于所有n∈N*，都有an=n+1．…（12分）