数学归纳法_章节学习

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数满足ax•f（x）=2bx+f（x），a≠0，f（1）=1；且使f（x）=2x成立的实数x只有一个．

（Ⅰ）求函数f（x）的表达式；

（Ⅱ）若数列{an}满足，an+1=f（an），，n∈N*，证明数列{bn}是等比数列，并求出{bn}的通项公式．

正确答案

解：（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），，a≠0，得．…（2分）

由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）

由f（x）=2x只有一解，即，也就是2ax2-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，

∴4（1+b）2-4×2a×0=0

∴b=-1．…（5分）

∴a=-1．

故．…（6分）

（Ⅱ）解法一：∵，an+1=f（an），

∴，，，…（7分）

猜想，．…（8分）

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立．…（10分）

②假设n=k时，命题成立，即；

当 n=k+1时，，

∴当 n=k+1时，命题成立．…（12分）

由①②可得，当n∈N*时，有．…（13分）

∵，

∴a1=2

∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为bn=2n．…（14分）

解法二：∵，

∴…（8分）

即，…（10分）

∴即…（12分）

则数列{bn}是以b1=2为首项2为公比的等比数列，bn=2n，（n∈N*）…（14分）

解析

解：（Ⅰ）由ax•f（x）=2bx+f（x），，a≠0，得．…（2分）

由f（1）=1，得a=2b+1．…（3分）

由f（x）=2x只有一解，即，也就是2ax2-2（1+b）x=0（a≠0）只有一解，

∴4（1+b）2-4×2a×0=0

∴b=-1．…（5分）

∴a=-1．

故．…（6分）

（Ⅱ）解法一：∵，an+1=f（an），

∴，，，…（7分）

猜想，．…（8分）

下面用数学归纳法证明：

①当n=1时，左边=，右边=，∴命题成立．…（10分）

②假设n=k时，命题成立，即；

当 n=k+1时，，

∴当 n=k+1时，命题成立．…（12分）

由①②可得，当n∈N*时，有．…（13分）

∵，

∴a1=2

∴{bn}是首项为2，公比为2的等比数列，其通项公式为bn=2n．…（14分）

解法二：∵，

∴…（8分）

即，…（10分）

∴即…（12分）

则数列{bn}是以b1=2为首项2为公比的等比数列，bn=2n，（n∈N*）…（14分）

1

题型：单选题

|

单选题

用数学归纳法证明++…+≥，从n=k到n=k+l，不等式左边需添加的项是（　　）

A++

B++-

C

D

正确答案

B

解析

解：当n=k时，左边的代数式为++…+，

当n=k+1时，左边的代数式为+…++++，

故用n=k+1时左边的代数式减去n=k时左边的代数式的结果为++-，

故选：B．

1

题型：简答题

|

简答题

已知数列{}的前n项和是Sn．

（Ⅰ）分别计算S2-S1，S4-S2的值，并比较-与的大小（不必证明）；

（Ⅱ）求使S1+S2+…+Sn-1=f（n）•（Sn-1）对于大于1的正整数n都成立的函数f（n），并证明你的结论．

正确答案

解：（Ⅰ）S2-S1=，S4-S2=，

当n≥1时，=（共2n-1项）≥×2n-1=，

当且仅当n=1时，等号成立．…（4分）

（Ⅱ）当n=2时，有1=f（2）（1-1）⇒f（2）=2，

n=3时，有=f（3）（1+-1）⇒f（3）=3，

由此猜想f（n）=n（n≥2）．…（6分）

下面用数学归纳法证明：

①n=2，3时，上面已证，猜想正确；

②设n=k （k≥2）时，f（k）=k即S1+S2+…+Sk-1=k（Sk-1成立

则S1+S2+…+Sk=k（Sk-1）+Sk

=（k+1）Sk-k=（k+1）（Sk+-1）=（k+1）（Sk+1-1）

即n=k+1时，猜想也正确．

综上所述，存在f（n）=n，使得S1+S2+…+Sn-1=f（n）•（Sn-1）对于大于1的正整数n都成立． …（8分）

解析

解：（Ⅰ）S2-S1=，S4-S2=，

当n≥1时，=（共2n-1项）≥×2n-1=，

当且仅当n=1时，等号成立．…（4分）

（Ⅱ）当n=2时，有1=f（2）（1-1）⇒f（2）=2，

n=3时，有=f（3）（1+-1）⇒f（3）=3，

由此猜想f（n）=n（n≥2）．…（6分）

下面用数学归纳法证明：

①n=2，3时，上面已证，猜想正确；

②设n=k （k≥2）时，f（k）=k即S1+S2+…+Sk-1=k（Sk-1成立

则S1+S2+…+Sk=k（Sk-1）+Sk

=（k+1）Sk-k=（k+1）（Sk+-1）=（k+1）（Sk+1-1）

即n=k+1时，猜想也正确．

综上所述，存在f（n）=n，使得S1+S2+…+Sn-1=f（n）•（Sn-1）对于大于1的正整数n都成立． …（8分）

1

题型：简答题

|

简答题

在数列{an}中，a1=2，且．

（1）求a2，a3，a4；

（2）猜想{an}的通项公式，并用数学归纳法证明．

正确答案

解：（1）a2=6，a3=12，a4=20；…（6分）

（2）猜想；

用数学归纳法证明：

1）当n=1时，a1=1×（1+1）=2，命题成立

2）假设当n=k（k≥1）时命题成立．即ak=k（k+1）

那么当n=k+1时，

所以，当n=k+1时命题也成立

由1），2）可得对于任意的正整数n，．…（12分）

解析

解：（1）a2=6，a3=12，a4=20；…（6分）

（2）猜想；

用数学归纳法证明：

1）当n=1时，a1=1×（1+1）=2，命题成立

2）假设当n=k（k≥1）时命题成立．即ak=k（k+1）

那么当n=k+1时，

所以，当n=k+1时命题也成立

由1），2）可得对于任意的正整数n，．…（12分）

1

题型：简答题

|

简答题

设曲线y=ax3+bx2+cx在点A（x，y）处的切线斜率为k（x），且k（-1）=0，对一切实数x，不等式x≤k（x）≤（x2+1）恒成立（a≠0）．

（1）求k（1）的值；

（2）求函数k（x）的表达式；

（3）求证：+++…+＞．

正确答案

（1）解：由，所以k（1）=1------（3分）

（2）解：对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c，

k（-1）=0，则a-b+c=0------①

由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②

由①②得a+c=，b=；

则k（x）=ax2+x+c，

又由x≤k（x）≤（x2+1）恒成立可得，

ax2-x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立；

由ax2+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，

由（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）

得0＜a＜，且≤ac≤

∴ac=，

且a+c=，则a=c=，

则k（x）=x2+x+=（x+1）2；

（3）证明：--------（7分）

要证原不等式，即证

因为-----（8分）

所以==

所以＞------（10分）

解析

（1）解：由，所以k（1）=1------（3分）

（2）解：对曲线方程求导可得k（x）=ax2+bx+c，

k（-1）=0，则a-b+c=0------①

由（1）得，k（1）=1，则a+b+c=1------②

由①②得a+c=，b=；

则k（x）=ax2+x+c，

又由x≤k（x）≤（x2+1）恒成立可得，

ax2-x+c≥0且（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立；

由ax2+x+c≥0恒成立可得a＞0，≤4ac，

由（2a-1）x2+1x+（2c-1）≤0恒成立可得（2a-1）＜0，1≤4（2a-1）（2c-1）

得0＜a＜，且≤ac≤

∴ac=，

且a+c=，则a=c=，

则k（x）=x2+x+=（x+1）2；

（3）证明：--------（7分）

要证原不等式，即证

因为-----（8分）

所以==

所以＞------（10分）

热门试卷

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析

正确答案

解析