二次函数在闭区间上的最值
共37题

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二次函数在闭区间上的最值
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题型：填空题

填空题 · 4 分

函数（）的最大值等于 .

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

二次函数在区间上的值域为（）

正确答案

解析

，其在区间上单调递减，故其在区间　上的值域为，即。

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知f(x)=xlnx，.

(1)当a=2时，求函数y=g(x)在[0，3]上的值域；

(2)求函数f(x)在[t，t+2](t>0)上的最小值；

(3)证明：对一切x∈(0，+∞)，都有成立

正确答案

见解析。

解析

(1)，x∈[0,3]

当x=1时，gmin(x)=g(1)=；当x=3时，

故g(x)值域为

(2) f'(x)=lnx+l,当f'(x)<0，f(x)单调递减，当，f'(x)>0，f(x)单调递增.

①，t无解；

②，即时，

③,即时，f(x)在[t,t+2]上单调递增，f(x)min=f(t)=tlnt；

所以

(3)g'(x)+1=x，所以问题等价于证明，由(2)可知f(x)=xlnx(x∈(0，+∞))的最小值是，当且仅当时取到；

设，则，易得，当且仅当x=1时取到，从而对一切x∈(0，+∞)，都有成立。

知识点

二次函数在闭区间上的最值利用导数研究函数的单调性利用导数求函数的最值利用导数证明不等式

题型：简答题

简答题 · 5 分

已知，函数,。

（1）求在上的单调区间；

（2）当时，求在上的最大值。

正确答案

见解析。

解析

（1）， ……………1分

当时，，在上递增； ……………2分

当时，在上递增，在上递减；……………3分

当时，，在上递减， ……………4分

(2) 当时，在上递增，在上递减。

，

,，………6分

①时，,,。

而，，，。

显然，，所以只需比较与的大小。

。在上单调递增，而。

时，，， ………9分

②时，,,.

, ………12分

综上所述， ………13分

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知，，，则a，b，c的大小关系是

Ac＜b＜a

Ba＜c＜b

Ca＜b＜c

Db＜c＜a

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

若x≥0，y≥0，且，则的最小值是。

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

若，，，则下列结论正确的是（）

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

已知命题，使命题，都有给出下列结论：

① 命题“”是真命题 ② 命题“”是假命题

③ 命题“”是真命题； ④ 命题“”是假命题

其中正确的是（）

A② ④

B② ③

C③ ④

D① ② ③

正确答案

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：简答题

简答题 · 14 分

已知函数，，是常数。

⑴，试证明函数的图象在点处的切线经过定点；

⑵若函数图象上的点都在第一象限，试求常数的取值范围。

正确答案

见解析。

解析

（1）

，……2分，函数的图象在点处的切线为，即

，当时，，即切线经过定点

（2）时，，因为，所以点在第一象限

依题意，

时，由对数函数性质知，时，，，从而“，”不成立

时，由得

设，

，从而，

综上所述，常数的取值范围

知识点

二次函数在闭区间上的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知函数的导函数为，且满足则= .

正确答案

-30

解析

略

知识点

二次函数在闭区间上的最值

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