热门试卷

解（I）如图所示．

（II）证明，取PC的中点M，设AC与BD的交点为N，连接MN、ME，∵PM=CM，AN=CN∴∥PA

∴MN=EB，MN∥EB，故BEMN为平行四边形．

∴EM∥BN，又EM⊂平面PEC，BD⊄面PEC，∴BD∥平面PEC．

（III）

证明：如图，

∵四棱锥P-ABCD的底面是平行四边形，∴AB∥CD，

又∵E，F分别为AB，CD的中点，∴CF∥AE，

∴四边形AECF为平行四边形．

∴AF∥EC．

又AF⊄平面PEC，EC⊂平面PEC，

∴AF∥平面PEC．

解：（I）证明：记BC1与CB1交于点O，连OD

∵OD是△ABC1的中位线，∴OD∥AC1     

∵AC1⊄面CDB1OD⊂面CDB1

∴AC1∥平面CDB1；

（II）由（I）知OD∥AC1

∴∠COD为异面直线AC1与B1C所成的角，

∵在Rt△ACC1中，AC=3，CC1=4∴AC1=5∴OD=，

在正方形CBB1C1中，B1C=4，∴OC=2，

∵AC=3，BC=4，AB=5，∴AC⊥BC，∴CD==，

在△COD中，cos∠COD==．

证明：（1）如图所示，连接AC交BD于O，连接MO．

在△PAC中，OM为中位线，∴OM∥PA．

∴

∴PA∥平面MDB．

（2）令NC∩MO=Q．连接PO．

∵此四棱锥P-ABCD是正四棱锥，∴PO⊥底面ABCD．

在Rt△AOP中，=2．

同理PA=PB=PC=PD=AB=BC=CD=DA=2．

∵M是PC中点，∴在△PDC中，DM⊥PC．

同理，在△PBC中，BM⊥PC．

在平面BMD中，BM∩DM=M．

∴PC⊥平面MDB．

∴∠CQM为CN与平面MBD所成角的平面角．

∵M是线段PC的中点，∴MC=1．

由（1）可知：PA∥平面BMD，平面PAC∩平面BMD=OM．

∴PA∥MO，

又∵PM=MC，∴OM是△PAC的中位线，∴MQ=PN=．

在Rt△CMQ中，tan∠CQM==2．

CN与平面MBD所成角的正切值是2．