热门试卷

（Ⅰ）证明：取PC的中点为O，连FO，DO，

∵F，O分别为BP，PC的中点，∴FO∥BC，且，

又ABCD为平行四边形，ED∥BC，且，

∴FO∥ED，且FO=ED

∴四边形EFOD是平行四边形---------------------------------------------（2分）

即EF∥DO   

又EF⊄平面PDC，

∴EF∥平面PDC．---------------------------------------------（4分）

（Ⅱ）证明：若∠CDP=90°，则PD⊥DC，

又AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，

∵AD∩DC=D，∴PD⊥平面ABCD，---------------------------------（6分）

∵BE⊂平面ABCD，

∴BE⊥DP--------------------------------（8分）

（Ⅲ）解：连接AC，由ABCD为平行四边形可知△ABC与△ADC面积相等，

所以三棱锥P-ADC与三棱锥P-ABC体积相等，即五面体的体积为三棱锥P-ADC体积的二倍．

∵AD⊥平面PDC，DP⊂平面PDC，∴AD⊥DP，

由AD=3，AP=5，可得DP=4

又∠CDP=120°，PC=2，由余弦定理并整理得DC2+4DC-12=0，解得DC=2--------------------------（10分）

∴三棱锥P-ADC的体积

∴该五面体的体积为-----------------------------（12分）

解：（Ⅰ）证明：设F为DC的中点，连接BF，则DF=AB．∵AB⊥AD，AB=AD，AB∥DC，∴四边形ABFD为正方形．

∵O为BD的中点，∴O为AF，BD的交点，∵PD=PB=2，∴PO⊥BD，…..（2分）

∵=，∴=，，

在三角形PAO中，PO2+AO2=PA2=4，∴PO⊥AO，…（4分）∵AO∩BD=O，∴PO⊥平面ABCD．    …（5分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知PO⊥平面ABCD，又AB⊥AD，所以过O分别做AD，AB的平行线，以它们做x，y轴，以OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系，如图所示：

由已知得：A（-1，-1，0），B（-1，1，0），D（1，-1，0）F（1，1，0），C（1，3，0），

，．

则，，，．

∴，∴OE∥PF，∵OE⊄平面PDC，PF⊂平面PDC，∴OE∥平面PDC．   …（9分）

（Ⅲ） 设平面PDC的法向量为，直线CB与平面PDC所成角θ，

则，即，解得，令z1=1，

则平面PDC的一个法向量为，又，

则，∴直线CB与平面PDC所成角的正弦值为．…（14分）

解：（I）连接BF，由题意可得BC和EF平行且相等，故四边形BCEF为平行四边形，故有CE∥BF．

再根据BF⊂平面ABGF，CE不在平面ABGF 内，可得CE∥平面ABGF．

（Ⅱ）设点B到平面CEG的距离为h．

由（Ⅰ）知：BF∥CE，可得BF∥平面CEG，

故点B到平面CEG的距离等于点F到平面CEG的距离，

所以VB-CEG=VF-CEG=VC-EFG =×S△CEG×h=×S△EFG×FA．

依题意，在△CGE中，CG=，CE=2，GE=，

因为CG2+GE2=CE2，所以S△CEG=CG×GE=．

在Rt△EFG中，S△EFG=，又FA=2，∴由 ×S△CEG×h=×S△EFG×FA，可得 ××h=××2，

由此求得点B到平面CEG的距离为h=．

证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，

则MN，EF，所以MNFE，

所以四边形MNEF为平行四边形，所以FM∥EN，（4分）

又因为FM⊄平面A1EB，EN⊂平面A1EB，

所以直线FM∥平面A1EB．（7分）

（2）因为E，F分别AB和AC的中点，

所以A1F=FC，所以FM⊥A1C（9分）

同理，EN⊥A1B，

由（1）知，FM∥EN，所以FM⊥A1B

又因为A1C∩A1B=A1，所以FM⊥平面A1BC，（12分）

又因为FM⊂平面A1FC

所以平面A1FC⊥平面A1BC．（14分）