- 矩阵与变换
- 共736题
将函数y=-sinx（x∈[0，π]）的图象绕原点顺时针方向旋转角
A
B
C
D
正确答案
解析
解：
这是一段三角函数图象的弧，其在原点的切线的斜率k=-cos0=-1，
由图可知：
当此圆弧绕坐标原点顺时针方向旋转时，旋转的角θ大于时，
旋转所得的图象与垂直于x轴的直线就有两个交点，
曲线C都不是一个函数的图象，
则θ的最大值为：
故选B．
A．选修4-1：几何证明选讲
如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD=AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE与AC交于点F，判断BE是否平分∠ABC，并说明理由．
B．选修4-2：短阵与变换
已知矩阵
C．选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是
D．选修4-5：不等式选讲
已知x，y，z∈R，且x+y+z=3，求x2+y2+z2的最小值．
正确答案
A．证明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD． …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． …（10分）
B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，
则有
所以
即y0=sinx0，从而
所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲线C的极坐标方程
化为直角坐标方程为x2+y2-2
即
D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，
利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
…（5分）
从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2的最小值为3． …（10分）
解析
A．证明：BE平面∠ABC．
∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．
∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．
∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD． …（5分）
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．
∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC． …（10分）
B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，
则有
所以
即y0=sinx0，从而
所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）
C．解：曲线C的极坐标方程
化为直角坐标方程为x2+y2-2
即
D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，
利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，
…（5分）
从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，
所以x2+y2+z2的最小值为3． …（10分）
已知矩阵A=
（1）矩阵A=
（2）求A的逆矩阵A-1．
正确答案
解：（1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），
经矩阵变换后点为P′（x，y），则有
可得
代入直线l：x′+y′=0，化简得3x-y=0．
直线l′的方程3x-y=0；
（2）∵矩阵A=
∴|A|=1×2-2×（-1）=4，
∴A-1=
解析
解：（1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），
经矩阵变换后点为P′（x，y），则有
可得
代入直线l：x′+y′=0，化简得3x-y=0．
直线l′的方程3x-y=0；
（2）∵矩阵A=
∴|A|=1×2-2×（-1）=4，
∴A-1=
已知矩阵A=
正确答案
解析
解：设x=
得
此时x=
已知点M（3，-1）绕原点按逆时针方向旋转90°后，且在矩阵A=
正确答案
解：绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为
所以
由
所以
所以a=3，b=-2．
解析
解：绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为
所以
由
所以
所以a=3，b=-2．
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