平面向量基本定理及坐标表示
共854题

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平面向量基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1）：

（1）求满足=m+n的实数m，n；

（2）若（+k）∥（2-），求实数k．

正确答案

（1）由题意得，m+n=m（-1，2）+n（4，1）=（-m+4n，2m+n），

∵=m+n，∴（3，2）=（-m+4n，2m+n），

即，解得m=，n=，

（2）由题意得，+k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），

2-=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2），

∵（+k）∥(2-)，

∴2（3+4k）+5（2+k）=0，解得k=-．

题型：简答题

简答题

已知向量m=(2x-2，2-y)，n=(y+2，x+1)，且m∥n，=(x，y)（O为坐标原点）．

（1）求点M的轨迹C的方程；

（2）是否存在过点F（1，0）的直线l与曲线C相交于A、B两点，并且曲线C存在点P，使四边形OAPB为平行四边形？若存在，求出平行四边形OAPB的面积；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵向量=(2x-2，2-y)，=(y+2，x+1)，且∥

∴（2x-2）（x+1）-（2-y）(y+2)=0

化简可得，点M的轨迹C的方程为+=1；

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），

由题意知l的斜率一定不为0，故不妨设l：x=my+1，代入椭圆方程，消元可得（2m2+3）y2+4my-4=0

∴y1+y2=-，y1y2=-

假设存在点P，使四边形OAPB为平行四边形，其充要条件为=+

∴P（x1+x2，y1+y2）

∴+=1

∴2+3+2+3+4x1x2+6y1y2=6

∵A，B在椭圆上，∴2+3=6，2+3，=6

∴2x1x2+3y1y2=-3

∵y1+y2=-，y1y2=-

∴m=±

当m=时，y1=-，y2=，∴x1=0，x2=

∴=(0，-)，=(，)

∴cos∠AOB==-

∴sin∠AOB=

∴平行四边形OAPB的面积为||||sin∠AOB=

当m=-时，同理可得平行四边形OAPB的面积为

故存在存在点P，使四边形OAPB为平行四边形．

题型：简答题

简答题

已知向量=（3，1），=（-1，2），⊥，∥．试求满足+=的的坐标．

正确答案

设=（x，y），则=（x，y）+（3，1）=（x+3，y+1），=-=（x+3，y+1）-（-1，2）=（x+4，y-1），

则

所以=（11，6）．

题型：简答题

简答题

在平面直角坐标系xOy中，己知点A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1）．

（1）若D（m，2m），且与共线，求非零实数m的值；

（2）若(-t)⊥(t∈R)，求t的值．

正确答案

（1）因为A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1），D（m，2m），

所以=(3，5)，=(m+2，2m+1)，

又因为与共线，即∥，

所以3（2m+1）=5（m+2），

解得：m=7，

所以非零实数m的值为7．

（2）因为A（-1，-2），B（2，3），C（-2，-1），

所以-t=(3+2t，5+t)，=(-2，-1)，

又因为(-t)⊥(t∈R)，

所以-2（3+2t）-（5+t）=0，

解得t=-，

所以t的值为-．

题型：简答题

简答题

已知向量=(x，y)与=(y，2y-x)的对应关系用=f()表示．

（Ⅰ）设=(1，1)，=(1，0)，求向量f()及f()的坐标；

（Ⅱ）求使f()=(p，q)，（p，q为常数）的向量的坐标；

（Ⅲ）证明：对于任意向量，及常数m，n恒有f(m+n)=mf()+nf()成立．

正确答案

（I）由已知得f()=（1，1），f()=（0，-1）

（II）设=（x，y），则f()=(y，2y-x)=(p，q)，

∴y=p，x=2p-q，即=（2P-q，p）．

（III）设=(a1，a2)，=(b1，b2)，则m+n=(ma1+nb1，ma2+nb2)，

故　f(m+n)=(ma2+nb2，2ma2+2nb2-ma1-nb1)=m（a2，2a2-a1）+n（b2，2b2-b1），

∴f(m+n)=mf()+nf()

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

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