热门试卷

证明：（1）∵直线CD与⊙O相切于E，∴∠CEB=∠EAB．

∵AB为⊙O的直径，∴∠AEB=90°．

∴∠EAB+∠EBA=90°．

∵EF⊥AB，∴∠FEB+∠EBF=90°．

∴∠FEB=∠EAB．

∴∠CEB=∠EAB．

（2）∵BC⊥CD，∴∠ECB=90°=∠EFB，

又∠CEB=∠FEB，EB公用．

∴△CEB≌△FEB．

∴CB=FB．

同理可得△ADE≌△AFE，∴AD=AF．

在Rt△AEB中，∵EF⊥AB，∴EF2=AF•FB．

∴EF2=AD•CB．

（1）证明：连接OC，OC交BD于E，

∵∠CDB=30°，

∴∠COB=2∠CDB=60°，

∵∠CDB=∠OBD，

∴CD∥AB，

又∵AC∥BD，

∴四边形ABDC为平行四边形，

∴∠A=∠D=30°，

∴∠OCA=180°-∠A-∠COB=90°，即OC⊥AC，

又∵OC是⊙O的半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）解：∵在△OEB和△CED中，∠OBE=∠CDE，∠OEB=∠CED，BE=DE，∴△OEB≌△CED（AAS），∴S阴影=S扇形BOC．

∴S阴影==6π．

答：阴影部分的面积是6π．

证明：（1）连接BD，OD，OE，则∠BDC=∠BDA=90°，

∵E为AB的中点，∴=BE，

∴OD2+DE2=OB2+BE2=OE2，∴∠ODE=90°．

∴直线DE为圆O的切线；

（2）连接BF，∵BC为⊙O的直径，∴BF⊥CE，

∴在RT△BCE中，CF•CE=BC2，

同理在RT△ABC中，CD•CA=BC2，

∴CD•CA=CF•CB．

证明：连结OT，因为AT是切线，所以OT⊥AP．

又因为∠PAQ是直角，即AQ⊥AP，所以AB∥OT，所以∠TBA=∠BTO．

又OT=OB，所以∠OTB=∠OBT，

所以∠OBT=∠TBA，

即BT平分∠OBA．