圆的切线的性质及判定定理
共255题

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圆的切线的性质及判定定理
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题型：简答题

简答题

如图，已知AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，点E在⊙O外，∠EAC=∠D=60°．

（1）求∠ABC的度数；

（2）求证：AE是⊙O的切线；

（3）当BC=4时，求劣弧AC的长．

正确答案

解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，得OA⊥AE，

又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，

由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，

因此，劣弧AC的长等于==．

解析

解：（1）∵∠ABC与∠D都是劣弧AC所对的圆周角，∠D=60°，

∴∠ABC=∠D=60°；

（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90°．

可得∠BAC=90°-∠ABC=30°，

∴∠BAE=∠BAC+∠EAC=30°+60°=90°，

即BA⊥AE，得OA⊥AE，

又∵OA是⊙O的半径，∴AE是⊙O的切线；

（3）如图，连接OC，

∵∠ABC=60°，OB=OC，

∴△BOC是等边三角形，得∠BOC=60°，⊙O的半径R=OB=AB=4，

由此得到∠AOC=180°-∠BOC=120°，

因此，劣弧AC的长等于==．

题型：填空题

填空题

（几何证明选讲选做题）如图，PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，若PT=2，PA=1，∠P=60o，则圆O的半径r=______．

正确答案

解析

解：连接AT

在△APT中，P=60°，PT=2，PA=1，AT=

∴∠TAP=90°，

∴∠BAT=90°，

∴BT是圆的直径，

∵PT是圆O的切线，PAB是圆O的割线，

∴PT2=PA•PB，

∴△PAT∽△PTB

∴

∴BT=2

∴圆的半径是，

故答案为：

题型：填空题

填空题

如图，AB为圆O的直径，E为AB 的延长线上一点，过E作圆O的切线，切点为C，过A作直线EC的垂线，垂足为D．若AB=4．CE=2，则 AD=______．

正确答案

解析

解：连接OC，则OC⊥DE，

∵AD⊥DE，

∴AD∥OC，

∴

由切割线定理可得CE2=BE•AE，

∴12=BE•（BE+4），

∴BE=2，

∴OE=4，

∴，

∴AD=3

故答案为：3．

题型：单选题

单选题

如图，⊙O的直径AB=6cm，P是AB延长线上的一点，过P点作⊙O的切线，切点为C，连接AC，若∠CPA=30°，PB的长为（　　）cm．

正确答案

解析

解：连接OC，∵CP与⊙O相切于点C，∴OC⊥CP．

∵OC=3，∠CPA=30°，∴OP===6．

∴PB=OP-OB=6-3=3．

故选D．

题型：填空题

填空题

如图，在等腰△ABC中，AC=AB，以AB为直径的⊙O交BC于点E，过点E作⊙O的切线交AC于点D，交AB的延长线于点P．问：PD与AC是否互相垂直？请说明理由．

正确答案

解析

解：PD与AC互相垂直．

理由如下：

连接OE，则OE⊥PD；

∵AC=AB，OE=OB，

∴∠OEB=∠B=∠C，

∴OE∥AC，

∴PD与AC互相垂直．

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