- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
如图，AB是半圆O的直径，C是圆周上一点(异于A、B)，过C作圆O的切线l，过A作直线l的垂线AD，垂足为D，AD交半圆于点E，求证：CB=CE。
正确答案
证明：如图，连接BE，
因为AB是半圆O的直径，E为圆周上一点，
所以∠AEB=90°，即BE⊥AD，
又因为AD⊥l，所以BE∥l，
所以∠DCE=∠CEB，
因为直线l是圆O的切线，
所以∠DCE=∠CBE，
所以∠CBE=∠CEB，
所以CE=CB。
如图，AB是⊙O的直径，C、F为⊙上的点，且CA平分∠BAF，过点C作CD⊥AF交AF的延长线于点D，求证：DC是⊙O的切线．
正确答案
证明：连接OC，则∠OAC=∠OCA，
又因为CA平分∠BAF，
所以∠OAC=∠FAC，所以∠FAC=∠OCA，
所以OC∥AD，
又因为CD⊥AF，
所以CD⊥OC，故DC是⊙O的切线。
已知PA是圆O的切线，切点为A，直线PO交圆O于B，C两点，AC=2，∠PAB=120°，则圆O的面积为（ ）。
正确答案
4π
如图，⊙O内切于△ABC的边于D，E，F，AB=AC，连接AD交⊙O于点H，直线HF交BC的延长线于点G．
（1）求证：圆心O在直线AD上．
（2）求证：点C是线段GD的中点．
正确答案
证明：（Ⅰ）∵AB=AC，AF=AE
∴CD=BE
又∵CF=CD，BD=BE
∴CD=BD
又∵△ABC是等腰三角形，
∴AD是∠CAB的角分线
∴圆心O在直线AD上．
（II）连接DF，由（I）知，DH是⊙O的直径，
∴∠DHF=90°，
∴∠FDH+∠FHD=90°
又∵∠G+∠FHD=90°
∴∠FDH=∠G
∵⊙O与AC相切于点F
∴∠AFH=∠GFC=∠FDH
∴∠GFC=∠G
∴CG=CF=CD
∴点C是线段GD的中点．
如图，AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过D作圆O的切线交AB的延长线于点C．若DA=DC，求证：AB=2BC。
正确答案
证明：连结OD、BD，因为AB是圆O的直径，
所以∠ADB=90°，
AB=2OB，因为DC是圆O的切线，
所以∠CDO=90°，
又因为DA=DC，所以∠A=∠C，
于是△ADB≌△CDO，
从而AB=CO，
即2OB=OB+BC，得OB=BC，故AB=2BC。
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