- 圆的切线的性质及判定定理
- 共255题
如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，以AC为直径的圆交AB于D，则AD的长为（ ）
A
B
C
D4
正确答案
解析
∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∵AC为直径，
∴CD⊥AB，
∴CD=
∴AD=
故选C．
（1）判断直线BD和⊙O的位置关系，并给出证明；
（2）当AB=10，BC=8时，求BD的长．
正确答案
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴
解析
∵∠AEC=∠ODB，∠AEC=∠ABC
∴∠ABC=∠ODB（2分）
∵OD⊥BC
∴∠DBC+∠ODB=90°（3分）
∴∠DBC+∠ABC=90°
∴∠DBO=90°（4分）
∴直线BD和⊙O相切．（5分）
（2）连接AC
∵AB是直径
∴∠ACB=90°（6分）
在Rt△ABC中，AB=10，BC=8
∴
∵直径AB=10
∴OB=5．（7分）
由（1），BD和⊙O相切
∴∠OBD=90°（8分）
∴∠ACB=∠OBD=90°
由（1）得∠ABC=∠ODB，
∴△ABC∽△ODB（9分）
∴
∴
如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，M，N是圆上两点，直线MN交AD的延长线于点C，交⊙O的切线于B，BM=MN=NC=1，求AB的长和⊙O的半径．
正确答案
解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，
∴AB=
在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，
∴2+AC2=9，AC=
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•
∴⊙O的半径为
解析
解：∵AD是⊙O的直径，AB是⊙O的切线，直线BMN是⊙O的割线，
∴∠BAC=90°，AB2=BM•BN．
∵BM=MN=NC=1，∴2BM2=AB2，
∴AB=
在Rt△BAC中，可得AB2+AC2=BC2，
∴2+AC2=9，AC=
∵CN•CM=CD•CA，
∴2=CD•
∴⊙O的半径为
如图，△ABC的内切圆I与边AB、AC分别切于点D、E，O为△BCI的外心．证明：∠ODB=∠OEC．
正确答案
证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．
则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．
于是，A，B，O，C 四点共圆．
由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．
因为AD=AE，AO=AO，
所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．
故∠ODB=∠OEC．
解析
证明：由O是△BCI的外心，知∠BOI=2∠BCI=∠BCA．同理，∠COI=∠CBA．
则∠BOC=∠BOI+∠COI=∠BCA+∠CBA=180°-∠BAC．
于是，A，B，O，C 四点共圆．
由OB=OC，知∠BAO=∠CAO．
因为AD=AE，AO=AO，
所以，△OAD≌△OAE．因此，∠ODA=∠OEA．
故∠ODB=∠OEC．
如图所示，O是△ABC的内心，∠BOC=100°，则∠BAC=______度．
正确答案
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°-100°=80°，而∠OBC+∠OCB=
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为20．
解析
解：∵OB、OC是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠OBC+∠OCB=180°-100°=80°，而∠OBC+∠OCB=
∴∠ABC+∠ACB=160°，
∴∠BAC=180°-160°=20°．
故答案为20．
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