热门试卷

（1）；（2）；(3) 见解析。

试题分析：（1）先求的定义域，然后对求导，令寻找极值点，从而求出

极值；（2）构造函数，又，则只需恒成立，再证在处取到最小值即可；（3）有两个极值点等价于方程在上有两个不等的正根，由此可得的取值范围，，由根与系数可知及范围为，代入上式得，利用导函数求的最小值即可。

试题解析：（1）的定义域是，.

,故当x=1时，G（x）的极小值为0.

（2）令，则，

所以，即恒成立的必要条件是，

又，由得：．

当时，由知，

故，即恒成立．

（3）由，得．

有两个极值点、等价于方程在上有两个不等的正根，

即：， 解得 ．

由，得，其中.

所以．

设，得，

所以，即．        

（1）函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的

（2）[3,31]

（3）a＝－2，b＝2

解：(1)因为函数f(x)＝x－1在区间[－2,1]上单调递增，

所以当x∈[－2,1]时，f(x)的值域为[－3,0]．

而[－3,0]⊄[－2,1]，所以函数f(x)在区间[－2,1]上不是封闭的．

(2)因为g(x)＝＝3＋.

①当a＝3时，函数g(x)＝3，显然{3}⊆[3,10]，故a＝3满足题意；

②当a>3时，在区间[3,10]上，函数g(x)单调递减，此时g(x)的值域为.

由⊆[3,10]

得，解得3≤a≤31，

故3

③当a<3时，在区间[3,10]上，有g(x)＝3＋<3，不合题意．

综上所述，实数a的取值范围是[3,31]．

(3)因为h(x)＝x3－3x，

所以h′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)．

因为当x<－1或x>1时，h′(x)>0；

当x＝－1或x＝1时，h′(x)＝0；

当－1

所以函数h(x)在区间(－∞，－1)上单调递增，在区间(－1,1)上单调递减，在区间(1，＋∞)上单调递增．

从而h(x)在x＝－1处取得极大值2，在x＝1处取得极小值－2.

由题意知

即

解得

因为a

又a，b∈Z，故a只可能取－2，－1,0，b只可能取0,1,2.

①当a＝－2时，因为b>0，故由h(－1)＝2得b≥2，因此b＝2.经检验，a＝－2，b＝2符合题意；

②当a＝－1时，由h(－1)＝2，得b＝2，此时h(1)＝－2∉[－1,2]，不符合题意；

③当a＝0时，显然不符合题意．

综上所述，a＝－2，b＝2.

(1)单调递减区间是，单调递增区间是; (2);(3) .

试题分析：(1)求导得，在中，由解得减区间，由解得增区间；(2)当时，无解，当时，，当时， ；(3) ，即，利用分离变量法得，构造函数，则知时有最大值，可得的范围.

解：(1)令解得的单调递减区间是,

令解得 的递增区间是          4分

(2) (ⅰ)0，t无解；

(ⅱ)0时，；

(ⅲ)，即时，在单调递增，，

 ，                                    8分

(3)由题意:即,

,  可得,

设,

则,

令,得(舍),

当时,;当时, ,

当时,取得最大值, ,  

,

的取值范围是 ．                                    12分

(1) ；（2）4

试题分析：(1)求出f′（x），因为x1、x2是函数f（x）的两个极值点，而x1=-1，x2=2所以得到f′（-1）=0，f′（2）=0代入求出a、b即可得到函数解析式；

（2）因为x1、x2是导函数f′（x）=0的两个根，利用根与系数的关系对已知进行变形得到a和b的等式，求出b的范围，设h（a）=3a2（6-a），求出其导函数，利用导数研究函数的增减性得到h（a）=的极大值，开方可得b的最大值．

试题解析：

(1)∵是函数的极值点，

∴∴              4分

（2）中对

∴的两个不相等的实根

由韦达定理知，         6分

∴|x1|+|x2|=|x1-x2|=         8分

∴即         9分

令

；

         11分

  ∴b≤4         12分

（Ⅰ）的单调递增区间是；的单调递减区间是；

（Ⅱ）.（Ⅲ）见解析.

试题分析：（Ⅰ） 利用导数值非负，得的单调递增区间是；利用导数值非正，得到的单调递减区间是；

（Ⅱ）利用在是单调递增函数，则恒成立，只需恒成立，转化成

，利用，得到.

（Ⅲ）依题意不难得到，=1+++，

根据时， =+在上为增函数，

可得，从而;

构造函数，利用“导数法”得到, 从而不等式成立.

应用“累加法”证得不等式.

本题解答思路比较明确，考查方法较多，是一道相当典型的题目.

试题解析：（Ⅰ）=，所以，,

因为，，所以，令，，

所以的单调递增区间是；的单调递减区间是；4分

（Ⅱ）若在是单调递增函数，则恒成立，即恒成立

即，因为，所以故.                .7分

（Ⅲ）设数列是公差为1首项为1的等差数列，所以，=1+++，

当时，由（Ⅱ）知：=+在上为增函数，

=-1，当时，，所以+，即

所以;

令，则有，当，有

则,即,所以时,

所以不等式成立.

令且时，

将所得各不等式相加，得

即

（且）．                   13分

⑴当时,函数

⑵

(3)

试题分析：（1）对x的取值分类讨论，化简绝对值，求出得到和导函数相等，代入到中得到即可；

（2）根据基本不等式得到的最小值即可求出；

（3）根据（2）知先联立直线与函数解析式求出交点，利用定积分求直线和函数图象围成面积的方法求出即可．

⑴∵,

∴当时,; 当时,

∴当时,; 当时,．

∴当时,函数．

⑵∵由⑴知当时,,

∴当时, 当且仅当时取等号．

∴函数在上的最小值是,∴依题意得∴．

⑶由解得

∴直线与函数的图象所围成图形的面积

=

函数,（)是“妈祖函数”.

试题分析：首先要正确理解“妈祖函数”的定义，解题时要求出,（)

的最值，利用作出判断

试题解析：（1）因为，函数，，当，即；

当时，； 当时，，

故在内的极小值是；在内的极大值是，

，所以函数,（)的最小值是，最大值是，故，所以函数,（)是“妈祖函数”.

(1)时的单调增区间为;时的单调增区间为.(2)

试题分析：本题主要考察函数的单调性与导数的关系 ，通过求导研究函数的单调性是导数的基本应用.

试题解析：(1)∵,,令∴ 时， 的单调增区间为；时的单调增区间为；

（2）由（1）知，，令∴ 时，在内单调递增；时的单调增区间为，要使在内单调递增，则，综上可知

（Ⅰ），（Ⅱ）

（Ⅰ）当时，∴（2’）对于,有,∴在区间上为增函数。∴，（5’）

（Ⅱ）令，则的定义域为。（6’）

在区间上，函数的图象恒在直线下方等价于在区间上恒成立。

∵==（8’）

①若，令，解得。当，即时，在上有，

此时在区间上是增函数，并且在该区间上有，不合题意；

当，即，同理可知，在区间上，有，也不合题意；（10’）

②若时，则有，此时在区间上恒有，从而在区间上是减函数；

要使<0,在此区间上恒成立，只须满足，由此求得的范围是。（12’）

综合①②可知，当时，函数的图象恒在直线下方。