热门试卷

对于y=x2-1，有y′=x，k1=y′|x=x0=x0；

对于y=1+x3，有y′=3x2，k2=y′|x=x0=3x02．

又k1k2=-1，则x03=-1，

故x0=-1．

（1）μ′(x)=-，f′(x)=

（2）f'（x）=（2x+a）e-x-e-x（x2+ax+a）=e-x[-x2+（2-a）x]

=e-x•（-x）•[x-（2-a）]，令f'（x）=0，得x=0或x=2-a，

当a=2时，f'（x）=-x2e-x≤0恒成立，此时f（x）单调递减；

当a＜2时，2-a＞0，若x＜0，则f'（x）＜0，若0＜x＜2-a，

则f'（x）＞0，x=0是函数f（x）的极小值点；（4分）

当a＞2时，2-a＜0，若x＞0，则f'（x）＜0，若2-a＜x＜0，则f'（x）＞0，

此时x=0是函数f（x）的极大值点，

综上所述，使函数f（x）在x=0时取得极小值的a的取值范围是a＜2

[理]（3）由（1）知a＜2，且当x＞2-a时，f'（x）＜0，

因此x=2-a是f（x）的极大值点，fmax（x）=f（2-a）=（4-a）ea-2，

于是g（x）=（4-x）ex-2（x＜2）（8分）

g'（x）=-ex-2+ex-2（4-x）=（3-x）ex-2，

令h（x）=（3-x）ex-2（x＜2），

则h'（x）=（2-x）ex-2＞0恒成立，即h（x）在（-∞，2）是增函数，

所以当x＜2时，h（x）＜h（2）=（3-2）e2-2=1，即恒有g'（x）＜1，

又直线2x-3y+m=0的斜率为，直线3x-2y+n=0的斜率为，

所以由导数的几何意义知曲线g（x）只可能与直线2x-3y+m=0相切

（1）单调增区间为，单调减区间为；（2）最大数为，最小数为；（3），，，，，.

试题分析：（1）先求函数的定义域，用导数法求函数的单调区间；（2）利用（1）的结论结合函数根据函数、、的性质，确定，，，，，这6个数中的最大数与最小数；（3）由（1），（2）的结论只需比较与和与的大小，时，，即，在上式中，令，又，则，即得，整理得，估算的值，比较与3的大小，从而确定与的大小关系，再根据，确定与的大小关系，最后确定6个数从小到大的顺序.

（1）函数的定义域为，因为，所以，

当，即时，函数单调递增；

当，即时，函数单调递减；

故函数的单调增区间为，单调减区间为.

（2）因为，所以，，即，，

于是根据函数、、在定义域上单调递增，

所以，，

故这6个数的最大数在与之中，最小数在与之中，

由及（1）的结论得，即，

由得，所以，

由得，所以，

综上，6个数中的最大数为，最小数为.

（3）由（2）知，，，又由（2）知，，

故只需比较与和与的大小，

由（1）知，当时，，即，

在上式中，令，又，则，即得①

由①得，，

即，亦即，所以，

又由①得，，即，所以，

综上所述，，即6个数从小到大的顺序为，，，，，.

（1），；（2）不存在，详见解析.

试题分析：（1）先求出函数的定义域与导数，求出极值点后，利用图表法确定函数的单调性，从而确定函数的极大值与极小值；（2）结合（1）中的结论可知，函数在区间上单调递增，根据定义得到，，问题转化为求方程在区间上的实数根，若方程的根的个数小于，则不存在“域同区间”；若上述方程的根的个数不少于，则存在“域同区间”，并要求求出相应的根，从而确定相应的“域同区间”.

试题解析：（1），定义域为，

且，

令，解得或，列表如下：

故函数在处取得极大值，即，

函数在处取得极小值，即；

（2）由（1）知，函数在区间上单调递增，

假设函数在区间上存在“域同区间”，则有，，

则方程在区间上至少有两个不同的实数根，

构造新函数，定义域为，

，令，解得，，

当时，；当时，，

故函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

因为，，，故函数在区间上存在唯一零点，

即方程在区间上只存在唯一实数根，

故函数在区间上不存在“域同区间”.

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，

要使（）恒成立，只需．

即，从而，解得或．

所以的取值范围为．

解：（I）由题意知，因此，从而．

又对求导得．

由题意，因此，解得．

（II）由（I）知（），令，解得．

当时，，此时为减函数；

当时，，此时为增函数．

因此的单调递减区间为，而的单调递增区间为．

（III）由（II）知，在处取得极小值，此极小值也是最小值，

要使（）恒成立，只需．

即，从而，解得或．

所以的取值范围为．

（1）由y=2x+lnx，则y′=(2x+lnx)′=2+；

（2）由y=2xcosx，则y′=（2xcosx）′=2cosx-2xsinx；

（3）由3）y=-2x，则y′=(-2x)′=-2xln2=-2xln2．

（1）f′（x）=6x（2-x）+（3x2+1）×（-1）=-9x2+12x-1；

（2）f′（x）=2xln（2x）+x2×=x（2ln2x+1）；

（3）∵f（x）=3ln（2x-1），∴f′（x）=．

（1）在时取得最小值，即．

（2）

（1）时，，()，

则．令，得．

当时，，在是减函数，

当时，，在是增函数，  

所以 在时取得最小值，即．                        （6分）

（2）因为 ，所以 ．   

所以当时，函数有最小值．x1，x2∈R+，不妨设，则

．                                           （13分）

（1）（2）p的最小值为0（3）见解析

试题分析：

(1)存在性问题,只需要即可,再利用导数法求解f(x)的最大值(即求导，求单调性，求极值9与端点值比较得出最值).

(2) p的最小值为函数g(x)的最小值,利用导数求函数的最小值即可(即求导，求单调性，求极值9与端点值比较得出最值).

(3)利用第二问结果可以得到与不等式有关的恒等式.令.把n=1,2,3,,得n个不等式左右相加，左边利用对数除法公式展开即可用裂项求和法得到不等式的左边,即证得原式

试题解析：

(1)依题意得

，而函数的定义域为

∴在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数

,即实数m的取值范围为                4分

(2) 则

显然，函数在上为减函数，在上为增函数,则函数的最小值为

所以，要使方程至少有一个解，则，即p的最小值为0                8分

(3)由（2）可知： 在上恒成立

所以，当且仅当x=0时等号成立

令，则 代入上面不等式得：

即，  即  

所以，，，，，

将以上n个等式相加即可得到：              12分