热门试卷

X 查看更多试卷
1
题型:简答题
|
简答题

函数.

(Ⅰ)求函数单调递增区间;

(Ⅱ)当时,求函数的最大值和最小值.

正确答案

(Ⅰ);(Ⅱ),0

试题分析:(Ⅰ)因为通过对函数求导可得,所以要求函数的单调递增区间即要满足,即解可得x的范围.本小题要处理好两个关键点:三角的化一公式;解三角不等式.

(Ⅱ)因为由(Ⅰ)可得函数在上递增,又因为所以可得是单调增区间,是单调减区间.从而可求结论.

试题解析:(Ⅰ)                 2分

                               4分

                        6分

单调区间为                   8分

(Ⅱ)   由知(Ⅰ)知,是单调增区间,是单调减区间   10分

所以,          12分

1
题型:简答题
|
简答题

已知函数.

(Ⅰ)讨论函数的单调区间;

(Ⅱ)当时,若函数在区间上的最大值为28,求的取值范围.

正确答案

(Ⅰ)当时,内单调递增,内单调递减;当时,单调递增;当时,内单调递增,内单调递减;(Ⅱ)即的取值范围是

试题分析:(Ⅰ)讨论函数的单调区间,它的解题方法有两种:一是利用定义,二是导数法,本题由于是三次函数,可用导数法求单调区间,只需求出的导函数,判断的导函数的符号,从而求出的单调区间;但本题求导后令,得,由于不知的大小,因此需要对进行分类讨论,从而确定在各种情况下的单调区间;(Ⅱ)当时,若函数在区间上的最大值为28,求的取值范围,这是函数在闭区间上的最值问题,像这一类问题的处理方法为,先求出的极值点,然后分别求出极值点与区间端点处的函数值,比较谁大谁为最大值,比较谁小谁为最小值,但本题是给出最大值,确定区间端点的取值范围,只需找出包含最大值28的的取值范围,,故故区间内必须含有,即的取值范围是

试题解析:(Ⅰ),令

(ⅰ)当,即时,单调递增,

(ⅱ)当,即时,当,或时,内单调递增,当内单调递减,

(ⅲ)当,即时,当内单调递增

内单调递减   ,

综上,当时,内单调递增,内单调递减;当时,单调递增;当时,内单调递增,内单调递减;

(Ⅱ)当时,,令,将变化情况列表如下:

由此表可得:

,故区间内必须含有,即的取值范围是

1
题型:简答题
|
简答题

(本小题满分13分)已知函数

(1)若函数在定义域上为单调增函数,求的取值范围;

(2)设

正确答案

解:(1) 

的定义域是,所以上恒成立.

             ……3分

所以的取值范围是   ……6分

(2)不妨设,(若交换顺序即可)

即证只需证   ………9分

由(1)知上是单调增函数,又,………11分

所以                         ………13分

1
题型:简答题
|
简答题

已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N*.令bn=an+1-2an.且a1=1.求数列{bn}的通项公式;若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,计算f′(1)的结果.

正确答案

(1)依题意可得sn+1=4(an+2)-5=4an+3

∴当n≥2时,sn=4an-1+3,

两式相减得an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)即bn=2bn-1(n≥2)

∴{bn}是公比为2的等比数列,又b1=a2-2a1=4

∴bn=4•2n-1=2n+1

(2)f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn

∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1

∴f′(1)=b1+2b2+…+nbn

由(1)解知f′(1)=22+2•23+3•24+…+n•2n+1

∴f′(1)是{n•2n+1}的前n项和,

错位相减法得f′(1)=4+(n-1)•2n+2

1
题型:简答题
|
简答题

求下列函数的导数:

(1)y=(x-2)(3x+4);

(2)y=

(3)y=x2+sincos

正确答案

(1)y=(x-2)(3x+4)=3x2-2x-8,

y′=6x-2

(2)y′=

=

=

(3)y=x2+sincos=x2+sinx

所以y′=2x+cosx

1
题型:简答题
|
简答题

,其中是常数,且

(1)求函数的极值;

(2)证明:对任意正数,存在正数,使不等式成立;

(3)设,且,证明:对任意正数都有:

正确答案

(1)当时,取极大值,但没有极小值(2)见解析(3)见解析

(1)∵, -----------------1分

得,

,即,解得,-----------------3分

故当时,;当时,

∴当时,取极大值,但没有极小值.-----------------4分

(2)∵

又当时,令,则

因此原不等式化为,即, -----------------6分

,则

得:,解得

时,;当时,

故当时,取最小值,-----------------8分

,则

,即

因此,存在正数,使原不等式成立.-----------------10分

(3)对任意正数,存在实数使

原不等式

-----------------14分

由(1)恒成立,

即得

,故所证不等式成立. -----------------14分

1
题型:简答题
|
简答题

已知函数f(x)=x3-ax-1.

(1)若a=3时,求f(x)的单调区间;

(2)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;

(3)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),单调减区间为(-1,1)(2)a≤0.(3)存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3.

(1)当a=3时,f(x)=x3-3x-1,∴f′(x)=3x2-3,

令f′(x)>0即3x2-3>0,解得x>1或x<-1,

∴f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),

同理可求f(x)的单调减区间为(-1,1).

(2)f′(x)=3x2-a.

∵f(x)在实数集R上单调递增,

∴f′(x)≥0恒成立,即3x2-a≥0恒成立,∴a≤(3x2)min.

∵3x2的最小值为0,∴a≤0.

(3)假设存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,

∴f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2.

又3x2∈[0,3),∴a≥3.

∴存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3.

1
题型:简答题
|
简答题

已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).

(1)讨论函数f(x)的单调区间;

(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.

正确答案

(1) 当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为(2) a≥-1.

(1)f′(x)=-a=(x>0),

当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;

当a>0时,若f′(x)>0,则0,若f′(x)<0,则x>

故此时f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为.

(2)令h(x)=ax-1(-1≤x≤0),

当a=0时,h(x)=-1,g(x)max=f(1)=0≤1,符合题意.

当a<0时,h(x)max=h(-1)=-a-1,f(x)max=f(1)=-a,

∴g(x)max=-a≤1,结合a<0,可得-1≤a<0.

当a>0时,h(x)max=h(0)=-1.

≥1,即0max=f(1)=-a≥-1,

∴g(x)max=-a≤1,结合0

<1,即a>1,f(x)max=f =ln-1<-1,

∴g(x)max=-1≤1,符合题意.

综上所述,当g(x)≤1恒成立时,a≥-1.

1
题型:简答题
|
简答题

已知函数

(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;

(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;

(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.

正确答案

(I)-2ln2

(II)当时,为单调增区间,为单调减区间;当a=-2时,为单调增区间;当a<-2时,为单调增区间,为单调减区间.

(III)存在.

试题分析:(I) 首先确定函数的定义域,然后求导,根据函数导函数的性质,确定函数的单调区间,判断极小值就是最小值,求出即可. (II) 求导、同分整理得.再分当或当a=-2或a<-2时,判断的符号,确定函数单调区间即可. (III) 假设存在实数a使得对任意的,且,都有恒成立. 不妨设,使得,即,构造函数令,利用导函数求出满足函数g(x)在为增函数的a取值范围即可.

试题解析:解:(I)定义域为,当a=1时,,所以当时,,所以f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为.

(II) 因为,所以

(1)当时,若,f(x)为增函数;时,,f(x)为减函数;时, ,f(x)为增函数;

(2)当a=-2时,,f(x)为增函数;

(3)当a<-2时,时, ,f(x)为增函数;时,,f(x)为减函数;, ,f(x)为增函数;

(III)假设存在实数a使得对任意的,且,都有恒成立,不妨设,使得,即

,只要g(x)在为增函数,考察函数,要使恒成立.只需,即,故存在实数符合题意.

1
题型:简答题
|
简答题

已知函数

(1)写出函数的单调区间;

(2)若恒成立,求实数的取值范围;

(3)若函数上值域是,求实数的取值范围.

正确答案

(1)增区间, 减区间;(2)实数的取值范围为

(3)实数的取值范围为

试题分析:(1)由已知函数可化为,根据函数的单调区间,得出所求函数的单调区间;(2)由(1)可知不等式可化为,根据函数的单调性,可求得函数上的值域,从而求出所实数的范围;(3)由(1)可知函数的单调区间,可将区间两种情况进行讨论,根据函数的单调性及值域,分别建立关于的方程组,由方程组解的情况,从而求出实数的取值范围.

试题解析:(1)增区间, 减区间                   2分

(2)上恒成立即上恒成立

易证,函数上递减,在上递增

故当上有

的取值范围为                               5分

(3)

①当时,上递增,

即方程有两个不等正实数根

方程化为:       10分

②当

上递减  

(1)-(2)得 

                           13分

综合①②得实数的取值范围为            14分

下一知识点 : 导数在研究函数中的应用
百度题库 > 高考 > 数学 > 导数的计算

扫码查看完整答案与解析

  • 上一题
  • 1/10
  • 下一题