- 导数的计算
- 共3632题
设函数.
(Ⅰ)求函数单调递增区间;
(Ⅱ)当时,求函数
的最大值和最小值.
正确答案
(Ⅰ);(Ⅱ)
,0
试题分析:(Ⅰ)因为通过对函数求导可得
,所以要求函数
的单调递增区间即要满足
,即解
可得x的范围.本小题要处理好两个关键点:三角的化一公式;解三角不等式.
(Ⅱ)因为由(Ⅰ)可得函数在上
递增,又因为
所以可得
是单调增区间,
是单调减区间.从而可求结论.
试题解析:(Ⅰ) 2分
4分
6分
单调区间为
8分
(Ⅱ) 由知(Ⅰ)知,
是单调增区间,
是单调减区间 10分
所以,
12分
已知函数.
(Ⅰ)讨论函数的单调区间;
(Ⅱ)当时,若函数
在区间
上的最大值为28,求
的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)当时,
在
内单调递增,
在
内单调递减;当
时,
在
单调递增;当
时,
在
内单调递增,
在
内单调递减;(Ⅱ)即
的取值范围是
.
试题分析:(Ⅰ)讨论函数的单调区间,它的解题方法有两种:一是利用定义,二是导数法,本题由于是三次函数,可用导数法求单调区间,只需求出
的导函数,判断
的导函数的符号,从而求出
的单调区间;但本题求导后令
,得
,由于不知
的大小,因此需要对
进行分类讨论,从而确定在各种情况下的单调区间;(Ⅱ)当
时,若函数
在区间
上的最大值为28,求
的取值范围,这是函数在闭区间上的最值问题,像这一类问题的处理方法为,先求出
的极值点,然后分别求出极值点与区间端点处的函数值,比较谁大谁为最大值,比较谁小谁为最小值,但本题是给出最大值,确定区间端点的取值范围,只需找出包含最大值28的
的取值范围,
,故故区间
内必须含有
,即
的取值范围是
.
试题解析:(Ⅰ),令
得
,
(ⅰ)当,即
时,
,
在
单调递增,
(ⅱ)当,即
时,当
,或
时,
,
在
、
内单调递增,当
时
,
在
内单调递减,
(ⅲ)当,即
时,当
时
,
在
内单调递增
当时
,
在
内单调递减 ,
综上,当时,
在
内单调递增,
在
内单调递减;当
时,
在
单调递增;当
时,
在
内单调递增,
在
内单调递减;
(Ⅱ)当时,
,
,令
得
,将
,
,
变化情况列表如下:
由此表可得:,
,
又,故区间
内必须含有
,即
的取值范围是
.
(本小题满分13分)已知函数(
(1)若函数在定义域上为单调增函数,求
的取值范围;
(2)设
正确答案
解:(1)
的定义域是
,所以
在
上恒成立.
……3分
所以
的取值范围是
……6分
(2)不妨设
,(若
交换顺序即可)
即证
只需证
………9分
由(1)知上是单调增函数,又
,………11分
所以 ………13分
略
已知数列{an}的前n项和为Sn,点(an+2,Sn+1)在直线y=4x-5上,其中n∈N*.令bn=an+1-2an.且a1=1.求数列{bn}的通项公式;若f(x)=b1x+b2x2+b3x3+…+bnxn,计算f′(1)的结果.
正确答案
(1)依题意可得sn+1=4(an+2)-5=4an+3
∴当n≥2时,sn=4an-1+3,
两式相减得an+1=4an-4an-1∴an+1-2an=2(an-2an-1)(n≥2)即bn=2bn-1(n≥2)
∴{bn}是公比为2的等比数列,又b1=a2-2a1=4
∴bn=4•2n-1=2n+1
(2)f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn
∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1
∴f′(1)=b1+2b2+…+nbn
由(1)解知f′(1)=22+2•23+3•24+…+n•2n+1
∴f′(1)是{n•2n+1}的前n项和,
错位相减法得f′(1)=4+(n-1)•2n+2
求下列函数的导数:
(1)y=(x-2)(3x+4);
(2)y=;
(3)y=x2+sincos
.
正确答案
(1)y=(x-2)(3x+4)=3x2-2x-8,
y′=6x-2
(2)y′=
=
=
(3)y=x2+sincos
=x2+
sinx
所以y′=2x+cosx
设,
,其中
是常数,且
.
(1)求函数的极值;
(2)证明:对任意正数,存在正数
,使不等式
成立;
(3)设,且
,证明:对任意正数
都有:
.
正确答案
(1)当时,
取极大值,但
没有极小值(2)见解析(3)见解析
(1)∵, -----------------1分
由得,
,
∴,即
,解得
,-----------------3分
故当时,
;当
时,
;
∴当时,
取极大值,但
没有极小值.-----------------4分
(2)∵,
又当时,令
,则
,
故,
因此原不等式化为,即
, -----------------6分
令,则
,
由得:
,解得
,
当时,
;当
时,
.
故当时,
取最小值
,-----------------8分
令,则
.
故,即
.
因此,存在正数,使原不等式成立.-----------------10分
(3)对任意正数,存在实数
使
,
,
则,
,
原不等式,
-----------------14分
由(1)恒成立,
故,
取,
即得,
即,故所证不等式成立. -----------------14分
已知函数f(x)=x3-ax-1.
(1)若a=3时,求f(x)的单调区间;
(2)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围;
(3)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
正确答案
(1)f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),单调减区间为(-1,1)(2)a≤0.(3)存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3.
(1)当a=3时,f(x)=x3-3x-1,∴f′(x)=3x2-3,
令f′(x)>0即3x2-3>0,解得x>1或x<-1,
∴f(x)的单调增区间为(-∞,-1)∪(1,+∞),
同理可求f(x)的单调减区间为(-1,1).
(2)f′(x)=3x2-a.
∵f(x)在实数集R上单调递增,
∴f′(x)≥0恒成立,即3x2-a≥0恒成立,∴a≤(3x2)min.
∵3x2的最小值为0,∴a≤0.
(3)假设存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,
∴f′(x)≤0在(-1,1)上恒成立,即a≥3x2.
又3x2∈[0,3),∴a≥3.
∴存在实数a使f(x)在(-1,1)上单调递减,且a≥3.
已知函数f(x)=ln x-ax(a∈R).
(1)讨论函数f(x)的单调区间;
(2)若函数g(x)=且g(x)≤1恒成立,求实数a的取值范围.
正确答案
(1) 当a≤0时,f(x)在(0,+∞)上单调递增;当a>0时,f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
(2) a≥-1.
(1)f′(x)=-a=
(x>0),
当a≤0时,f′(x)>0,则f(x)在(0,+∞)上单调递增;
当a>0时,若f′(x)>0,则0,若f′(x)<0,则x>
,
故此时f(x)的单调递增区间为,单调递减区间为
.
(2)令h(x)=ax-1(-1≤x≤0),
当a=0时,h(x)=-1,g(x)max=f(1)=0≤1,符合题意.
当a<0时,h(x)max=h(-1)=-a-1,f(x)max=f(1)=-a,
∴g(x)max=-a≤1,结合a<0,可得-1≤a<0.
当a>0时,h(x)max=h(0)=-1.
若≥1,即0max=f(1)=-a≥-1,
若<1,即a>1,f(x)max=f
=ln
-1<-1,
∴g(x)max=-1≤1,符合题意.
综上所述,当g(x)≤1恒成立时,a≥-1.
已知函数
(I)当a=1时,求函数f(x)的最小值;
(II)当a≤0时,讨论函数f(x)的单调性;
(III)是否存在实数a,对任意的x1,x2(0,+∞),且x1≠x2,都有
恒成立.若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由.
正确答案
(I)-2ln2
(II)当时,
和
为单调增区间,
为单调减区间;当a=-2时,
为单调增区间;当a<-2时,
和
为单调增区间,
为单调减区间.
(III)存在.
试题分析:(I) 首先确定函数的定义域,然后求导,根据函数导函数的性质,确定函数的单调区间,判断极小值就是最小值,求出即可. (II) 求导、同分整理得.再分当
或当a=-2或a<-2时,判断
的符号,确定函数单调区间即可. (III) 假设存在实数a使得对任意的
,且
,都有
恒成立. 不妨设
,使得
,即
,构造函数令
,利用导函数求出满足函数g(x)在
为增函数的a取值范围即可.
试题解析:解:(I)定义域为,当a=1时,
,所以当
时,
,
,所以f(x)在x=2时取得最小值,其最小值为
.
(II) 因为,所以
(1)当时,若
,
,f(x)为增函数;
时,
,f(x)为减函数;
时,
,f(x)为增函数;
(2)当a=-2时,,f(x)为增函数;
(3)当a<-2时,时,
,f(x)为增函数;
时,
,f(x)为减函数;
,
,f(x)为增函数;
(III)假设存在实数a使得对任意的,且
,都有
恒成立,不妨设
,使得
,即
,
令,只要g(x)在
为增函数,考察函数
,要使
在
恒成立.只需
,即
,故存在实数
符合题意.
已知函数
(1)写出函数的单调区间;
(2)若在
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)若函数在
上值域是
,求实数
的取值范围.
正确答案
(1)增区间, 减区间
;(2)实数
的取值范围为
(3)实数的取值范围为
试题分析:(1)由已知函数可化为,根据函数
的单调区间,得出所求函数的单调区间;(2)由(1)可知不等式
可化为
,根据函数
在
的单调性,可求得函数
在
上的值域,从而求出所实数
的范围;(3)由(1)可知函数
的单调区间,可将区间
分
与
两种情况进行讨论,根据函数
的单调性及值域,分别建立关于
,
的方程组,由方程组解的情况,从而求出实数
的取值范围.
试题解析:(1)增区间, 减区间
2分
(2)在
上恒成立即
在
上恒成立
易证,函数在
上递减,在
上递增
故当上有
故的取值范围为
5分
(3)或
①当时,
在
上递增,
即即方程
有两个不等正实数根
方程化为:故
得
10分
②当时
在
上递减
即(1)-(2)得
又,
13分
综合①②得实数的取值范围为
14分
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