热门试卷

（1）（2）当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )（3）见解析

（1）解：∵关于的不等式的解集为，

即不等式的解集为，

∴.

∴.

∴.

∴.

(2)解法1:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

方程（*）的判别式

.………4分

①当时，，方程（*）的两个实根为

 ………5分

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②当时，由,得或，

若，则

故时，，

∴函数在上单调递增.

∴函数没有极值点.………7分

若时，

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任意实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

解法2:由(1)得.

∴的定义域为.

∴. ………3分

若函数存在极值点等价于函数有两个不等的零点，且

至少有一个零点在上. ………4分

令,

得, (*)

则,(**)…………5分

方程（*）的两个实根为, .

设,

①若,则,得,此时,取任意实数, (**)成立.

则时，；时，.

∴函数在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点. ………6分

②若,则得

又由(**)解得或,

故.………7分

则时，；时，；时，.

∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.

∴函数有极小值点，有极大值点. ………8分

综上所述, 当时，取任何实数, 函数有极小值点；

当时，，函数有极小值点，有极大值点.…9分

(其中, )

（3）∵， ∴.

∴ 

. ………10分

令，

则

.

∵，

∴…11分

12分

.………13分

∴，即. ……………14分

证法2：下面用数学归纳法证明不等式.

① 当时，左边，右边，不等式成立；

………10分

②假设当N时，不等式成立，即，

则

………11分

 ………12分

. ………13分

也就是说，当时，不等式也成立.

由①②可得，对N，都成立. …14分

(1) a=3    (2) 当日产量为90吨时,每日的利润可以达到最大值14300元.

(1)由题意可得

y=

因为x=30时,y=-100,

所以-100=-×303+a×302+270×30-10000,

得a=3.

(2)当0

y=-x3+3x2+270x-10000,

y'=-x2+6x+270.

由y'=-x2+6x+270=0可得:

x1=90,x2=-30(舍),

所以当x∈(0,90)时,原函数是增函数,当x∈(90,120)时,原函数是减函数.

所以当x=90时,y取得最大值14300.

当x≥120时,y=10400-20x≤8000,

所以当日产量为90吨时,每日的利润可以达到最大值14300元.

（1）当时，的单调递增区间为；当，的单调递增区间为和；（2）函数不存在“中值相依切线”.

试题分析：（1）当时，分和两种情况分别进行分析，当时, , 显然函数在上单调递增；当时, ，令,解得或;所以当时,函数在上单调递增；当时,函数在和上单调递增；（2）先设是曲线上的不同两点，求出的表达式化简得到：，再经过求导分析得出函数不存在“中值相依切线”.

试题解析：（1）函数的定义域是. 由已知得， 

当时, , 显然函数在上单调递增；

当时, ，令,解得或; 

函数在和上单调递增，

综上所述:①当时,函数在上单调递增；

②当时,函数在和上单调递增；

（2）假设函数存在“中值相依切线”

设是曲线上的不同两点，且，

则，.

曲线在点处的切线斜率  

依题意得： 

化简可得： ， 即= 

设 ()，上式化为：,

.  令,

.

因为,显然，所以在上递增,

显然有恒成立.  所以在内不存在,使得成立.

综上所述，假设不成立.所以，函数不存在“中值相依切线”.

（Ⅰ）；（Ⅱ）实数的取值范围为．

试题分析：（Ⅰ）设函数，若在点处的切线斜率为，用表示，与函数的切线有关，可考虑利用导数来解，对求导，利用，即可得出；（Ⅱ）若对定义域内的恒成立，求实数的取值范围，即，这样转化为求的最大值，由于含有对数函数，可考虑利用导数来求的最大值，求导得，含有参数，需对参数进行分类讨论，分别求出最大值，验证是否符合题意，从而确定实数的取值范围．

试题解析：（Ⅰ），依题意有：； 

（Ⅱ）恒成立．

由恒成立，即．  

，

①当时，，，，单调递减，当，， 单调递增，则，不符题意；

②当时，，

（1）若，，，，单调递减；当，， 单调递增，则，不符题意；

（2）若，若，，，，单调递减，

这时，不符题意；

若，，，，单调递减，这时，不符题意；

若，，，，单调递增；当，， 单调递减，则，符合题意；

综上，得恒成立，实数的取值范围为．

（Ⅰ）函数的减区间是,增区间是；

（Ⅱ）的最小值为；（Ⅲ）.

试题分析：（Ⅰ）求出的导数，由的符号确定的单调区间；

（Ⅱ）求出的导数，由在上恒成立求得实数的最小值；（Ⅲ）注意左右两边的自变量是独立的.若存在使成立，则.故首先求出然后解不等式求实数的取值范围.

试题解析：解：（Ⅰ）由得, 且,则函数的定义域为,

且,令,即,解得

当且时, ;当时,

函数的减区间是,增区间是                           4分

（Ⅱ）由题意得：函数在上是减函数，

在上恒成立，即在上恒成立

令，因此即可

当且仅当，即时取等号

因此，故的最小值为.                             8分

（Ⅲ）命题“若存在，使，”等价于

“当时，有”，

由（Ⅱ）得，当时，，则，

故问题等价于：“当时，有”，

,由（Ⅱ）知,

（1）当时，在上恒成立，因此在 上为减函数，则,故,

（2）当时，在上恒成立，因此在上为增函数，

则，不合题意

（3）当时，由于在上为增函数，

故的值域为，即

由的单调性和值域知，存在唯一，使，且满足：当时，为减函数；当时，为增函数；

所以，

所以，与矛盾，不合题意

综上，得.                                             12分

(1) 当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2) (0,+∞)

(1)当a=-3时,f(x)=x3-x2-3x+3.

f'(x)=x2-2x-3=(x-3)(x+1).

令f'(x)=0,得x1=-1,x2=3.

当x<-1时,f'(x)>0,

则函数在(-∞,-1)上是增函数,

当-1

则函数在(-1,3)上是减函数,

当x>3时,f'(x)>0,

则函数在(3,+∞)上是增函数.

所以当x=-1时,函数f(x)取得极大值为f(-1)=--1+3+3=,

当x=3时,函数f(x)取得极小值为f(3)=×27-9-9+3=-6.

(2)因为f'(x)=x2-2x+a,

所以Δ=4-4a=4(1-a).

①当a≥1时,则Δ≤0,∴f'(x)≥0在R上恒成立,所以f(x)在R上单调递增.

f(0)=-a<0,f(3)=2a>0,所以,当a≥1时函数的图象与x轴有且只有一个交点.

②a<1时,则Δ>0,∴f'(x)=0有两个不等实数根,不妨设为x1,x2(x12),∴x1+x2=2,x1·x2=a,

则

∵-2x1+a=0,∴a=-+2x1,

∴f(x1)=-+ax1-a

=-+ax1+-2x1

=+(a-2)x1

=x1[+3(a-2)],

同理f(x2)=x2[+3(a-2)].

∴f(x1)·f(x2)=x1x2[+3(a-2)][+3(a-2)]=a(a2-3a+3).

令f(x1)·f(x2)>0,解得a>0.

而当00.

故0

综上所述,a的取值范围是(0,+∞).

(1) 不能，理由见解析      (2)  (－29,10)

解：(1)由题意f′(x)＝x2＋ax＋b，

∵a＝2b，∴f′(x)＝x2＋2bx＋b.

若f(x)在x＝－1处取极值，

则f′(－1)＝1－2b＋b＝0，即b＝1，

此时f′(x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2≥0，

函数f(x)为单调递增函数，这与该函数能在x＝－1处取极值矛盾，

故该函数不能在x＝－1处取得极值．

(2)∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx在区间(－1,2)，(2,3)内分别有一个极值点，

∴f′(x)＝x2＋ax＋b＝0在(－1,2)，(2,3)内分别有一个实根，

∴⇒

⇒

画出不等式表示的平面区域，如图所示，

当目标函数w＝a－4b过N(－5,6)时，

对应的w＝－29；

当目标函数w＝a－4b过M(－2，－3)时，

对应的w＝10.

故w＝a－4b的取值范围为(－29,10)．

（1）；（2）；（3）.

试题分析：本题考查导数的运算，利用导数研究函数的单调性、最值等基础知识，考查函数思想和转化思想，考查综合分析和解决问题的能力.第一问，将代入得到解析式，求将代入得到切线的斜率，再将代入到中得到切点的纵坐标，利用点斜式求出切线方程；第二问，先将问题转化为，进一步转化为求函数的最大值和最小值问题，对求导，通过画表判断函数的单调性和极值，求出最值代入即可；第三问，结合第二问的结论，将问题转化为恒成立，进一步转化为恒成立，设出新函数，求的最大值，所以即可.

试题解析：(1)当时,,,,,

所以曲线在处的切线方程为;         2分

(2)存在,使得成立等价于:,

考察,,

由上表可知:,

,

所以满足条件的最大整数;                       7分

(3)当时,恒成立等价于恒成立,

记，，，

记，，由于，

，所以在上递减，

当时，，时，，

即函数在区间上递增，在区间上递减，

所以，所以.

（1）；（2）.

试题分析：（1）本小题首先代入求得原函数的导数，然后求出切点坐标和切线的斜率，最后利用点斜式求得切线方程；

（2）本小题首先求得原函数的导数，通过导数零点的分析得出原函数单调性，做成表格，求得函数的极大值和极小值，若要有三个零点，只需即可，解不等式即可.

试题解析：（Ⅰ）当时， ；

所以曲线在点处的切线方程为，

即                            6分

（Ⅱ）=.令，解得   8分

因，则 .当变化时，、的变化情况如下表：

则极大值为：，极小值为：，

若要有三个零点，

只需即可，

解得，又 .因此

故所求的取值范围为               13分