热门试卷

（I）见解析（II）

（I）令，

即为增函数，即为减函数，

故，为减函数，

（II）

下面证明，

综上

直接移项构造函数，比较容易想到，但是求出导函数后又变得无从下手，这时候需要二次求导分析来解决。两种解法各有特点。第二问主要是在第一问的基础上利用不等式进行适当的放缩，转化为另一个函数进行分析解答。

【考点定位】本题考查函数与导数，导数与不等式的综合应用。

（1）；（2）详见解析；（3）详见解析.

试题分析：（1）先求得，令，得或，因为要考虑根与定义域的位置关系，故需讨论n的取值．当时，，此时，函数单调递减；当时，，将定义域分段，并考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图象，进而求最大值，从而求得；（2）由（1）得，将所求证不等式等价变形为，，再利用二项式定理证明；（3）由（2）得，，再将不等式放缩为可求和的数列问题处理．

（1）

，

当时，由知或，         

当时，则，时，，在上单调递减，

所以

当时，，时，，时，，

∴在处取得最大值，即，

综上所述，.

（2）当时，要证，只需证明

∵

∴,所以，当时，都有成立．

（3）当时，结论显然成立；

当时，由（II）知

．

所以，对任意正整数，都有成立．                    13分

(1) x1=是极大值点,x2=是极小值点   (2) 0

f'(x)=.

(1)当a=时,若f'(x)=0,则4x2-8x+3=0x1=,x2=,则

∴x1=是极大值点,x2=是极小值点.

(2)记g(x)=ax2-2ax+1,则

g(x)=a(x-1)2+1-a,

∵f(x)为[,]上的单调函数,

则f'(x)在[,]上不变号,

∵>0,

∴g(x)≥0或g(x)≤0对x∈[,]恒成立,

又g(x)的对称轴为x=1,故g(x)的最小值为g(1),最大值为g().

由g(1)≥0或g()≤00,

∴a的取值范围是0.

（1）时，有2个零点；时，有1个零点；时没有零点；（2）证明详见解析.

试题分析：（1）先求导，求出极值点，然后分类求出函数的零点个数.（2）首先用函数的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，设，则，，通过导数求的值域大于0即可得证.

试题解析：（1），则x=是极大值点，函数 极大值，（0， ）是单调增区间，（ ，+）是单调减区间；(1)当，即时，有2个零点；(2)当，即时，有1个零点；(3)当，即时没有零点；

（2）由得

=，令，设，

则，又，，

即，又，。

(I) a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)证明详见解析.

试题分析：(I)首先求出原函数的导数，然后分类求出>0或<0的解集，最后根据导数的性质，得出结论即可.(Ⅱ)由已知可知有解，构造函数 ，求导，利用基本不等式判断导数的符号，确定函数 的单调性，求出最大值即可.(Ⅲ) 首先确定公共定义域（0，+），，然后构造函数和利用导函数的性质求出它们的单调性，极值点和极值，即可确定最值，求得

.

试题解析：(I)f（x）的定义域是（0，+），.

1.当a=0时，>0，所以f（x）在（0，+）上单调递增；

2.当a<0时，由=0，解得，则时，>0，所以f（x）在上单调递增；时，<0，所以f（x）在上单调递减.

综上所述，a=0时，f（x）在（0，+）上单调递增；当a<0时，f（x）在上单调递增；f（x）在上单调递减.

(Ⅱ) 由题意有解，即有解，

因此只需有解即可.

设 ，则

因为，且时，.

所以<0，即<0，

故h（x）在单调递减，

所以h（x）

(Ⅲ)当a=0时，，f（x）与g（x）的公共定义域为，，

设，则，在上单调递增，所以.

又设则

当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

所以x=1为函数的极大值点，即，故.

即公共定义域内任一点差值都大于2.

（1）函数的定义域为                           ————1分

令 解得：                              ————4分

时，。此时函数单调递减。

时，。此时函数单调递增。         ————6分

（2）                           

由题意可知， 时，恒成立。            ————9分

即

由（1）可知，                     ————11分

由可得

即                                        ————13分

略

（I）∵f′(x)=-a，

∴f′(1)=-a．

由题知-a=-，

解得a=1．（3分）

（II）由（I）有f（x）=ln（1+x）-x，

∴原方程可整理为4ln（1+x）-x=m．

令g（x）=4ln（1+x）-x，得g′(x)=-1=，

∴当3＜x≤4时g'（x）＜0，当2≤x＜3时g'（x）＞0，g'（3）=0，

即g（x）在[2，3]上是增函数，在[3，4]上是减函数，

∴在x=3时g（x）有最大值4ln4-3．（6分）

∵g（2）=4ln3-2，g（4）=4ln5-4，

∴g（2）-g（4）=4ln+2=2(2ln+1)=2ln．

由9e≈24.46＜25，于是2ln＜0．

∴g（2）＜g（4）．

∴m的取值范围为[4ln5-4，4ln4-3）．（9分）

（III）由f（x）=ln（1+x）-x（x＞-1）有f′(x)=-1=-，

显然f'（0）=0，当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，

∴f（x）在（-1，0）上是增函数，在[0，+∞）上是减函数．

∴f（x）在（-1，+∞）上有最大值f（0），而f（0）=0，

∴当x∈（-1，+∞）时，f（x）≤0，因此ln（1+x）≤x．（*）（11分）

由已知有p＞an，即p-an＞0，所以p-an-1＞-1．

∵an+1-an=ln（p-an）=ln（1+p-1-an），

∴由（*）中结论可得an+1-an≤p-1-an，即an+1≤p-1（n∈N*）．

∴当n≥2时，an+1-an=ln（p-an）≥ln[p-（p-1）]=0，即an+1≥an．

当n=1，a2=a1+ln（p-lnp），

∵lnp=ln（1+p-1）≤p-1，

∴a2≥a1+ln[p-（p-1）]=a1，结论成立．

∴对n∈N*，an+1≥an．（14分）

（1）依题意，得：f'（x）=3x2-6x+2，∴f''（x）=6x-6．…（2分）

由f''（x）=0，即6x-6=0．∴x=1，又 f（1）=2，

∴f（x）=x3-3x2+2x+2的“拐点”坐标是（1，2）．…（4分）

（2）由（1）知“拐点”坐标是（1，2）．

f（1+x）+f（1-x）=（1+x）3-3（1+x）2+2（1+x）+2+（1-x）3-3（1-x）2+2（1-x）+2=2+6x2-6-6x2+4+4=4=2f（1），

由定义（2）知：f（x）=x3-3x2+2x+2关于点（1，2）对称．…（8分）

一般地，三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）的“拐点”是(-，f(-))，它就是f（x）的对称中心．…（10分）

（或者：任何一个三次函数都有拐点；任何一个三次函数都有对称中心；任何一个三次函数平移后可以是奇函数…）都可以给分

（3）G（x）=a（x+1）3+b（x+1）+3（a≠0）或写出一个具体的函数，

如G（x）=x3+3x2+3x+4或G（x）=x3+3x2-x．…（12分）

（1），最低为13120元，（2）网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低

试题分析：（1）建造网箱的总造价为网箱四周网衣建造总造价与筛网建造总造价之和. 网箱的长x，则 网箱的宽为，所以.当时，，当且仅当时取等号，此时（2）因为网箱的长不超过15米，宽不超过12米，所以（1）中等号不成立.需从单调性上考虑最值. 因为，所以在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.

⑴网箱的宽为，

    4分

当时，，当且仅当时取

此时

网箱的长为16m时，总造价最低为13120元                 8分

⑵由题意                        10分

此时，在上单调递减，而时，y最小，此时宽=.

网箱长为15m，宽为10.67m时，可使总造价最低                  16分