热门试卷

∵f（x+2）=3f（x），

∴f（x+4）=3f（x+2）=9f（x），

设x∈[-4，-2]，则x+4∈[0，2]，

∴f（x+4）=（x+4）2-2（x+4）+2=9f（x），

即x∈[-4，-2]时，f（x）=（x2+6x+10）

∴x∈[-4，-2]时，f（x）的最小值为

故答案为：．

（1）（Ⅰ）易得f（x）的定义域为{x|x∈R}．设y=，解得ax=-①

∵ax＞0当且仅当-＞0时，方程①有解．解-＞0，求得-1＜y＜1．

∴f（x）的值域为{y|-1＜y＜1}．

（Ⅱ）f（x）==1-．

1°当a＞1时，∵ax+1为增函数，且ax+1＞0．

∴为减函数，从而f（x）=1-=为增函数．

2°当0＜a＜1时，类似地可得f（x）= 为减函数．

（2）∵1≤x≤9，可得 0≤log3x≤2，∴2≤f（x）≤4，∴4≤f2（x）≤16．

∵1≤x≤9，可得 1≤x2≤81，0≤log3x2≤4，∴2≤f（x2）=2+log3x2≤6．

故函数y=[f（x）]2+f（x2）的最大值为16+6=22，最小值为 4+2=6．

（1）∵f(x)=lg是奇函数

∴f（-x）+f（x）=0

∴lg+lg=0

∴=1

∴a2=1，得a=±1

又a=-1时，解析式无意义，故a=1

（2）由（1）f(x)=lg=lg(-1)

当x∈（-1，1）时，1+x∈（0，2），由于1+x在x∈（-1，1）递增，故-1递减，

由此知函数f（x）在（-1，1）上是减函数

由题意知

∵f()=，x∈（0，1]

设t=∈[1，+∞），可求得函数f（x）的解析式为f（x）=ax++1定义域为x∈[1，+∞） 

（Ⅰ）当a=时，f（x）=(x+)+1x∈[1，+∞） 

 用定义证明f（x）的单调性如下：

设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）-f（x2）=(x1+)-( x2 +)=(x1-x2)(1-)，

∵1≤x1＜x2≤2

∴f（x1）-f（x2 ）＞0

故f（x）在[1，2]上单调递减．同理可证f（x）在[2，+∞）上单调递增．

∴f（x）的最小值为f（2）=3．

（Ⅱ）∵x∈[1，+∞），f（x）=ax++1=＞0恒成立

∴等价于当x∈[1，+∞），ax2+x+2＞0恒成立即可

∴a＞在x∈[1，+∞）恒成立    又∈（0，1]

令g（x）==-2（）2-=-2（+）2+

即g（x）∈[-3，0）

∴a≥0

故a的取值范围[0，+∞）．

（1）当θ=-时，f(x)=x2-x-1=(x-)2-，

x∈[-1 ， ]，

∴x=时，f（x）的最小值为-．

x=-1时，f（x）的最大值为．

（2）函数f（x）=（x+tanθ）2-1-tan2θ图象的对称轴为x=-tanθ．

∵y=f（x）在区间[-1 ， ]上是单调函数．

∴-tanθ≤-1或-tanθ≥，

即tanθ≥1或　tanθ≤-，

因此θ的取值范围是(- ， -]∪[ ， )．

∵f（3）=f（-1），

∴抛物线y=f（x）有对称轴x=1．

故可设f（x）=a（x-1）2+13，将点（3，5）代入，

求得a=-2．

∴f（x）=-2（x-1）2+13=-2x2+4x+11．

（1）由f（-x）=-f（x），得2px2+2（p+q+3）=0恒成立，∴p=0，q=-3． 

（2）f（x）=x3-27x，取-3≤x1＜x2≤3，则x12+x1x2+x22＜27．

∴f（x1）-f（x2）=（x1-x2）（x12+x1x2+x22-27）＞0，f（x）在[-3，3]为减函数． 

（3）由（2）知f（x）在区间[-3，3]上的最小值为f（3）=-54，

∴只需f（3）=-54≥10sint-49，

由sint≤-，得t∈[2kπ-，2kπ-]（k∈Z）．

（1）函数f（x）在定义域内是奇函数．

因为在定义域内，对任意x存在x1和x2，使x=x1-x2，且满足：f(x1-x2)=；

由于函数f（x）的定义域关于原点对称，-x必与x同时在定义域内，

同样存在x1和x2，使-x=x2-x1，且满足：f(-x)=f(x2-x1)=，即f（x）=-f（-x），

∴f（-x）=-f（x），

∴函数f（x）在定义域内是奇函数．

（2）函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．

任意取x1，x2∈（0，l），且x1＜x2，则x2-x1＞0，

∵函数f（x）在定义域内是奇函数，且当0＜x＜l时，f（x）＞0，

∴f（x1）＞0，f（x2）＞0，f（x1-x2）=-f（x2-x1）＜0，

又∵f(x1-x2)=，

∴f（x1）-f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），

∴函数f（x）在（0，l）上是单调递增函数．

（1）∵0＜1，f(x)=，∴f（0）=3×0+2=2，

f[f（0）]=f（2）=22=4．

（2）当 x0＜1 时，3x0+2=3，∴x0=． 当 x0≥1 时，2x0=3，x0=log23，

故x0所有可能取的值是，或log23．

（1）定义域为：（-∞，0）∪（0，+∞）

∵f(-x)=+|(-x)2-a|=+|x2-a|=f(x)，

∴f（x）是偶函数．

（2）f（x）=（a∈R+）

10若x≤-或x≥，则f（x）=+x2-a，设≤x1＜x2，f(x1)-f(x2)=+--=(-)(-1)

由≤x1＜x2⇒x12x22≥a2⇒≤且x22-x12＞0，

当＜1⇒a 时，f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在[，+∞)上是增函数；

又f（x）是偶函数，f（x）在(-∞，-]上是减函数．

当≥1⇒0＜a≤1时，≤x1＜x2≤1时，

＞1⇒f(x1)＞f(x2)，1≤x1＜x2时，

＜1⇒f(x1)＜f(x2)．

∴f（x）在[，1]上是减函数，

在[1，+∞）上是增函数；

又f（x）是偶函数，在[-1，-]上是增函数，

在（-∞，-1]上是减函数．

20若-≤x≤(x≠0)，则f（x）=-x2+a，

设-≤x1＜x2≤，同理∴f（x）在(0，]上是减函数，

又f（x）是偶函数，于是f（x）在[-，0)上是增函数．

由1020知：当0＜a≤1时，f（x）在（0，1]上是减函数，

在[1，+∞）上是增函数，在（-∞，-1]上是减函数，在[-1，0）上是增函数；

当a＞1时，f（x）在(0，]上是减函数，在[，+∞)上是增函数，

在(-∞，-]上是减函数，在[-，0)上是增函数．

（I）由f(x)=a2x3-ax2+求导得，f'（x）=a2x2-2ax．

①当a＞0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-)＜0，解得0＜x＜

所以f(x)=a2x3-ax2+在(0，)上递减．

②当a＜0时，由f′(x)=a2x2-2ax=a2x(x-)＜0可得＜x＜0

所以f(x)=a2x3-ax2+在(，0)上递减．

综上：当a＞0时，f（x）单调递减区间为(0，)；

当a＜0时，f（x）单调递减区间为(，0)

（Ⅱ）设F(x)=f(x)-g(x)=a2x3-ax2+ax-x∈(0，]．

对F（x）求导，得F'（x）=a2x2-2ax+a=a2x2+a（1-2x），

因为x∈(0，]，a＞0，所以F'（x）=a2x2+a（1-2x）＞0，F（x）在区间(0，]上为增函数，则F(x)max=F()．

依题意，只需F（x）max＞0，即a2×-a×+a×-＞0，

即a2+6a-8＞0，解得a＞-3+或a＜-3-（舍去）．

所以正实数a的取值范围是(-3+，+∞)．

（1）∵f′(x)=p+-，要使f（x）为单调增函数，须f’（x）≥0恒成立，

即px2-2x+p≥0恒成立，即p≥=恒成立，又≤1，

所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．

要使f（x）为单调减函数，须f’（x）≤0恒成立，即px2-2x+p≤0恒成立，即p≤=恒成立，又＞0，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．

综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0

（2）∵f′(x)=，，∴f’（1）=2（p-1），设直线l：y=2（p-1）（x-1），

∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p-1）（x-1）得（p-1）（x-1）=，即（p-1）x2-（p-1）x-e=0

y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p-1）2-4（p-1）（-e）=0，得p=1-4e，综上，p=1-4e

（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]

①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意

②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，

故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，

即：f（e）=p（e-）-2lne＞2⇒p＞③当0＜p＜1时，因x-≥0，x∈[1，e]

所以f（x）=p（x-）-2lnx≤（x-）-2lnx≤e--2lne＜2不合题意

综上，p的取值范围为（ ，+∞）

解：（Ⅰ）易知f（0）=0，

由，

∴函数的定义域为（-1，1）。

（Ⅱ）证明：设，

，

因为，

所以，，故有，

可知，

故＞0，

即，

又，

所以函数在（-1，1）范围内为减函数。

（Ⅲ）由（Ⅰ）知f（0）=0，则，

因为函数在（-1，1）内为减函数，

所以，可得：，解得：x>1或x<。

令y=2x+2-3•4x=-3•（2x）2+4•2x（3分）

令t=2x，则y=-3t2+4t=-3(t-)2+（6分）

∵-1≤x≤0，∴≤2x≤1即t∈[，1]（8分）

又∵对称轴t=∈[，1]，

∴当t=，即x=log2时ymax=（10分）

当t=1即x=0时，ymin=1（12分）