- 集合与函数的概念
- 共44150题
已知函数f（x）=4x-a•2x+1+9，x∈[0，2]，
（1）当a=4，证明：函数y=f（x）是[0，2]上的单调递减函数；
（2）若函数y=f（x）是[0，2]上的单调函数，求a取值范围；
（3）若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，求a取值范围．
正确答案
（1）a=4时，f（x）=4x-4•2x+1+9=4x-8•2x+9，x∈[0，2]，
设t=2x，得t∈[1，4]，
f（x）=g（t）=t2-8t+9=（t-4）2-7
∵t=2x在区间[0，2]上是增函数，且g（t）=（t-4）2-7在区间[1，4]上是减函数，
∴f（x）=4x-4•2x+1+9在区间[0，2]上是单调递减函数；
（2）令t=2x，得t∈[1，4]，f（x）=g（t）=t2-2at+9，
∵t=2x在[0，2]上是增函数，且g（t）=t2-2at+9在（-∞，a]或[a，+∞）上是单调函数
∴区间[1，4]是（-∞，a]的子集，或[1，4]是[a，+∞）的子集
由此可得a≥4或a≤1，即a的取值范围为（-∞，1]∪[4，+∞）；
（3）由（2）可得
①当a≤1时，f（x）在区间[0，2]上是增函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（0）≥0，解之得a≤5
综合可得：a≤1；
②当a≥4时，f（x）在区间[0，2]上是减函数，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（2）≥0，解之得a≤
综合可得找不出实数a的取值；
③当1＜a＜4时，f（x）在区间[0，2]上先减后增，
∴f（x）≥0在[0，2]上恒成立，即f（log2a）≥0，解之得-3≤a≤3
综合可得：1＜a≤3
综上所述，若f（x）≥0在[0，2]上恒成立，实数a的取值范围为（-∞，3]．
已知-1＜a，b，c＜1，比较ab+bc+ca与-1的大小关系为______．
正确答案
根据题意可得：设f（x）=（b+c）x+bc+1，
由函数的性质可得：f（x）是单调函数，
因为f（1）=（1+b）（1+c）＞0，f（-1）=（-1+b）（-1+c）=（1-b）（1-c）＞0，
所以-1＜x＜1时，有f（x）＞0恒成立，
所以f（a）=（b+c）a+bc+1＞0，即ab+bc+ca＞-1．
故答案为：＞．
已知函数f（x）=x2+（a+1）x+lg|a+2|（a∈R，且a≠-2）．
（1）写出一个奇函数g（x）和一个偶函数h（x），使f（x）=g（x）+h（x）；
（2）对（1）中的g（x）．命题P：函数f（x）在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数；命题Q：函数g（x）是减函数；如果命题P、Q有且仅有一个是真命题，求a的取值范围；
（3）在（2）的条件下，求f（2）的取值范围．
正确答案
（1）由题意可得 h（x）=x2+lg|a+2|； g（x）=（a+1）x．
（2）由二次函数f（x））=x2+（a+1）x+lg|a+2|的图象是开口向上的抛物线，且的对称轴为 x=-
在区间[（a+1）2，+∞）上是增函数，故有 -
由函数g（x）是减函数得a+1＜0，解得a＜-1，a≠-2．
当命题P真且命题Q假时，由
当命题P假且命题Q真时，由
故当命题P、Q有且仅有一个是真命题，得a的取值范围是[-1，+∞)∪(-
（3）f（2）=4+2a+2+lg|a+2|=6+2a+lg（a+2），因为在a∈(-
所以，f(2)＞6+2•(-
设f（x）在R上为增函数，若方程x+f（x）=m的解为p，则方程x+f-1（x）=m的解是______．
正确答案
∵f（x）在R上为增函数，方程x+f（x）=m的解为p，
∴f（p）=m-p，
由反函数的性质知，f-1（m-p）=p，
x+f-1（x）=m，即f-1（x）=m-x的解为x=m-p．
故答案为：m-p．
已知f（x+1）=2x2-4x，则f(1-
正确答案
∵f（x+1）=2x2-4x，
∴f（x）=2x2-8x+6，
当x=1-
f（1-
2
)2-8（1-
故答案为4(
对于三次函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），定义：设f″（x）是函数y=f（x）的导数y=f′（x）的导数，若方程f″（x）=0有实数解x0，则称点（x0，f（x0））为函数y=f（x）的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有‘拐点’；任何一个三次函数都有对称中心；且‘拐点’就是对称中心．”请你将这一发现为条件，求
（1）函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为______．
（2）若函数g（x）=
正确答案
（1）∵函数f（x）=x3-3x2+3x，∴f′（x）=3x2 -6x+3，∴f″（x）=6x-6．
令 f″（x）=6x-6=0，解得 x=1，且f（1）=1，故函数f（x）=x3-3x2+3x对称中心为（1，1），
故答案为 （1，1）．
（2）若函数g（x）=
则h′（x）=x2-x+3，h″（x）=2x-1，令h″（x）=0，可得x=
设点p（x0，y0）为曲线上任意一点，则点P关于（
∴h（1-x0）=2-y0 ，∴h（x0）+h（1-x0）=y0+（2-y0）=2．
∴h（
=[h（
由于函数m（x）=
∴m（
=[m（
∴g（
+m（
=2010+0=2010，
故答案为2010．
已知函数f（x）=
（I）若m=0，n=1时，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若f（m）f（n）=-4．则当f（n）-f（m）取最小值时，
（i）求实数a的值；
（ii）若P（x1，y1），Q（x2，y2）（a＜x1＜x2＜n）是f（x）图象上的两点，且存在实数x0∈（a，n）使得f′（x0）=
正确答案
（I）若m=0，n=1，由已知函数f（x）=
可得 f′（x）=
故有
（Ⅱ）（i）因为f（n）-f（m）=f（n）+[-f（m）]≥2
由f（n）=
故f（n）-f（m）取得最小值时，a=0，n=1．
（ii）此时，f′（x0）=
由f′（x0）=
欲证x1＜x0＜x2，先比较 
由于 
因为0＜x1＜x2＜1，所以0＜x1x2＜1，有x1（2-x1x2）+x2＞0，
于是（x1-x2）[x1（2-x1x2）+x2]＜0，即 
另一方面，
因为0＜x12x02＜1，所以3+x12+x02-x12x02＞0，从而x12-x02＜0，即x1＜|x0|．
同理可证x0＜x2，因此x1＜|x0|＜x2．
已知x∈R，[x]表示不大于x的最大整数，如[π]=3，[-
正确答案
由定义可知若[x-1]=-3，
则-3≤x-1＜-2，即-2≤x＜-1，
故答案为：[-2，-1）．
已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
①f（3）=0；
②f（-3）=0；
③直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
④函数y=f（x）在[-9，-6]上为增函数．
其中所有正确命题的序号为______．（把所有正确命题的序号都填上）
正确答案
对于①②，由条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=-3，
即有f（3）=f（-3）+f（3），再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（-3）=f（3），得f（3）=0；
故①②对；
对于③，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（-x+6）=f（-x）+f（3），且f（-x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6-x）；∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于④，由于f（-3）=f（3）=0，得函数y=f（x）在[-9，-6]上不为增函数；故它是错．
故填①②③．
已知函数f(x)=
（1）当a=
（2）若对任意x∈[1，+∞），f（x）＞0恒成立，试求实数a的取值范围；
（3）若对任意a∈[-1，1]，f（x）＞4恒成立，试求实数x的取值范围．
正确答案
（1）f(x)=
因为当x∈[1，+∞），f（x）为增函数
所以f(x)≥ 1+
当x=1时最小值是
（2）因为x≥1所以原题等价于x2+2x+a＞0对x∈[1，+∞）恒成立
又因为当x≥-1时g（x）=x2+2x+a是增函数
所以只需g（1）＞0即可a＞-3
（3）f(x)＞4 ⇒
因为x∈[1，+∞）所以只需h（-1）＞0得x＞1
设a是实数，f(二)=a-
（u）若函数f（二）为奇函数，求a左值；
（2）试证明：对于任意a，f（二）在R上为单调函数；
（3）若函数f（二）为奇函数，且不等式f（k•3二）+f（3二-9二-2）＜左对任意二∈R恒成立，求实数k左取值范围．
正确答案
（1）∵f(-x)=a-
∴2a-
（2）证明：设x1，x2∈R，x1＜x2，则f(x1)-f(x2)=(a-
=
∵x1＜x2，∴(2x1-2x2)＜左
∴f（x1）-f（x2）＜左即∴f（x1）＜f（x2）
所以f（x）在R上为增函数．
（3）因为f（x）在R上为增函数且为奇函数，
由f（k•3x）+f（3x-9x-2）＜左得
f（k•3x）＜-f（3x-9x-2）=f（-3x+9x+2）
∴k•3x＜-3x+9x+2即32x-（1+k）3x+2＞对任意x∈R恒成立，
令t=3x＞左，问题等价于t2-（1+k）t+2＞左，其对称轴x=
当
当
综上所述，当k＜-1+2
定义在R上的函数f（x）满足f(x)=
正确答案
∵27＞0，∴f（27）=f（26）-f（25）=f（25）-f（24）-f（25）=-f（24）
=-[f（23）-f（22）]=-[f（22）-f（21）-f（22）]=f（21）=f（3×6+3）
=f（3）=f（2）-f（1）=f（1）-f（0）-f（1）=-f（0），
∵0≤0，∴f（0）=ln5．
∴f（27）=-f（0）=-ln5．
故答案为-ln5．
设f（sinα+cosα）=sinαcosα，则f（0）+f（1）的值为 ______．
正确答案
∵f（sinα+cosα）=sinα
∴sinα+cosα=0⇒（sinα+cosα）2=0⇒sinαcosα=-
即f（0）=-
sinα+cosα=1⇒（sinα+cosα）2=1⇒sinαcosα=0
即f（1）=0
则f（0）+f（1）的值为 -
故答案为-
已知f（x）是定义在区间[-1，1]上的奇函数，且f（1）=1，若m、n∈[-1，1]，m+n≠0时，有
（1）证明函数f（x）在[-1，1]上单调递增；
（2）解不等式f（x+
（3）若f（x）≤t2-2at+1对所有x∈[-1，1]，a∈[-1，1]恒成立，求实数t的取值范围．
正确答案
已知函数f（x）=|x-a|，g（x）=ax，（a∈R）．
（1）判断函数f（x）的对称性和奇偶性；
（2）当a=2时，求使g2（x）f（x）=4x成立的x的集合；
（3）若a＞0，记F（x）=g（x）-f（x），试问F（x）在（0，∞）是否存在最大值，若存在，求a的取值范围，若不存在，说明理由．
正确答案
（1）由函数f（x）=
当a=0时，函数f（x）=|x|，显然是一个偶函数；
当a≠0时，取特殊值：f（a）=0，f（-a）=2|a|≠0．
即f（-x）≠
故函数f（x）=|x-a|是非奇非偶函数．
（2）若a=2，且g2（x）f（x）=4x
可得：x2|x-2|=x，得 x=0 或 x|x-2|=1；
因此得 x=0 或 x=1 或 x=1+
故所求的集合为{0，1，1+
（3）对于 a＞0，F（x）=g（x）-f（x）=ax-|x-a|=
若a＞1时，函数F（x）在区间（0，a），[a，+∞）上递增，无最大值；
若a=1时，F（x）=
若0＜a＜1时，F（x）在区间（0，a）上递增，在[a，+∞）上递减，F（x）有最大值 F（a）=a2；
综上所述得，当0＜a≤1时，函数F（x）有最大值．
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