集合与函数的概念_章节学习

1

题型：填空题

|

填空题

若函数f（x）是定义在R上的偶函数，在（-∞，0]上是单调递减的，且f（1）=0，则使f（x）＜0的x的取值范围是______．

正确答案

首先，当x＜0时，根据f（x）在（-∞，0]上是单调递减的

所以f（x）＜0=f（-1），可得-1＜x＜0

又∵偶函数图象关于y轴对称

∴在（-∞，0]上是单调递减的偶函数f（x）在（0，+∞）上为增函数

因为f（1）=0，所以当f（x）＜0时，0＜x＜1

而f（0）=-f（0）=0

所以使f（x）＜0的x的取值范围是（-1，1）

故答案为：（-1，1）

1

题型：填空题

|

填空题

若函数f（x）=8x的图象经过点(，a)，则f-1（a+2）=______．

正确答案

因为函数f（x）=8x的图象经过点(，a)，

所以a=2，所以f-1（a+2）=f-1（4），

由函数与反函数的对应关系可得：4=8x，所以x=．

故答案为：．

1

题型：填空题

|

填空题

定义在R上的函数f（x）满足f(x)=，则f（2012）的值为______．

正确答案

因为定义在R上的函数f（x）满足f(x)=，

所以f（-1）=1，f（0）=0，f（1）=f（2）=-1，f（3）=0，f（4）=f（5）=1，f（6）=0，

当k∈Z时，f（1+6k）=f（2+6k）=-1，f（3+6k）=0，f（4+6k）=f（5+6k）=1，f（6k）=0，

f（2012）=f（6×335+2）=-1．

故答案为：-1．

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数，且，（1）判断函数的奇偶性；（2）判断在上的单调性并加以证明．

正确答案

（1）为奇函数；（2）在上是增函数．

试题分析：（1）由，，可求出函数的解析式，再根据奇偶性的定义判断其奇偶性；（2）在上是增函数，根据函数单调性的定义即可证明．

试题解析：

（1）依题意有，得，的定义域为关于原点对称，∵ ∴函数为奇函数．

（2）设，且

∵，且

∴，，∴，即

∴在上是增函数

1

题型：填空题

|

填空题

函数f(x)=log15(x2-8x+7)的单调递减区间为______．

正确答案

令t=x2-8x+7，由t＞0，可得x＜1或x＞7

∵t=x2-8x+7=（x-4）2-9

∴函数t=x2-8x+7在（-∞，1）上单调递减，在（7，+∞）上单调递增，

∵y=log15t在定义域上单调递减，

∴函数f(x)=log15(x2-8x+7)的单调递减区间为（7，+∞）．

故答案为：（7，+∞）．

1

题型：填空题

|

填空题

已知函数f（x）=，若f（a-2）=a，则a=______．

正确答案

∵函数f（x）=，f（a-2）=a，

∴=a，解得a=0或3，

故答案为0或3；

1

题型：填空题

|

填空题

一个边长为12cm的正方形铁片，铁片的四角截去四个边长都为x的小正方形，然后做成一个无盖方盒，要使方盒的容积最大，x的值应为______．

正确答案

由题意，方盒的高xcm，长、宽都是（12-2x）cm

∴V=（12-2x）2×x=4（6-x）2×x

∵2x+（6-x）+（6-x）≥3

∴（6-x）2×x≤32（当且仅当6-x=2x，即x=2时取等号）

∴x=2cm时，方盒的容积最大

故答案为：2cm

1

题型：填空题

|

填空题

设f（log2x）=2x（x＞0），则f（-1）的值为______．

正确答案

由题意，令log2x=-1，解得x=，

则f（log2x）=2x=212=，

故答案为：

1

题型：填空题

|

填空题

若函数y=f(x)是定义域为R的奇函数，且对于任意x∈R，有f(x+3)=-f(x)，若f(1)=1，tanα=2，则f(2005sinαcosα)的值为（）。

正确答案

-1

1

题型：简答题

|

简答题

已知定义域为R的函数是奇函数．

(1)求，的值；

(2)证明函数的单调性．

正确答案

(1)，；(2)见解析.

试题分析：(1)因为是定义在R上的奇函数，所以有，解得，再由，解得；(2)根据单调递减函数的定义证明：先由(1)写出函数的解析式，，然后取任意的且，对化简得到，根据以及指数函数的性质可以判断，所以，即时，有，根据单调递减函数的定义可知，函数在全体实数R上是单调递减函数.

试题解析：（1）因为是定义在R上的奇函数，

所以，即，解得. 2分

从而有.

又由知，，解得. 5分

(2)由（1）知， 7分

对于任意的且， 8分

∵，

∴

11分

所以在全体实数上为单调减函数. 12分

1

题型：填空题

|

填空题

已知集合，有下列命题：

①若，则；

②若，则；

③若，则可为奇函数；

④若，则对任意不等实数，总有成立．

其中所有正确命题的序号是．（填上所有正确命题的序号）

正确答案

②③

试题分析：①中，令，则，，所以，不成立，不正确；

②由得，，成立，所以②正确；

由②为奇函数可知，③若，则可为奇函数，正确；

由②可知，时是增函数，不成立；时，是减函数，成立，所以，④不正确.

故答案为②③.

1

题型：简答题

|

简答题

（本小题满分14分）

设函数是定义在上的减函数，并且满足，，

（1）求的值，（2）如果，求x的取值范围。（16分）

正确答案

（1）；（2）

本试题主要是考查了函数的单调性和抽象函数性质的运用。

（1）令，然后得到函数f(1)的值

（2）因为 ∴，因此

等价于

，然后解不等式得到结论。

解：（1）令，则，

∴ …………………3分

（2）∵ ∴ ……………6分

∴， ……………………9分

又由是定义在上的减函数，得： ……………………12分

解之得：。 ……………………14分

1

题型：简答题

|

简答题

已知函数y=f（x）对任意的实数ab都有：f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，

（1）求证：f（x）是R上的增函数；

（2）若f（4）=5，求f（2）的值，并解不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3．

正确答案

（1）见解析（2）不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜}

试题分析：（1）设x1＜x2，利用函数单调性的定义作差结合已知条件判断符号即可；

（2）利用f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5即可求得f（2）=3，再利用其单调递增的性质脱掉“f”，解关于m的不等式即可．

（1）证明：∵f（a+b）=f（a）+f（b）﹣1，且x＞0时，f（x）＞1，

设x1＜x2，则x2﹣x1＞0，f（x2﹣x1）＞1，

∴f（x2）﹣f（x1）=f[（x2﹣x1）+x1]﹣f（x1）=f（x2﹣x1）+f（x1）﹣1﹣f（x1）=f（x2﹣x1）﹣1＞1﹣1=0，

∴f（x）是R上的增函数；

（2）∵f（4）=f（2+2）=f（2）+f（2）﹣1=5，

∴f（2）=3．

∴f（3m2﹣m﹣2）＜3=f（2），又f（x）是R上的增函数；

∴3m2﹣m﹣2＜2，

∴﹣1＜m＜

∴不等式f（3m2﹣m﹣2）＜3的解集为：{m|﹣1＜m＜}．

点评：本题考查抽象函数及其应用，着重考查抽象函数的单调性，f（x2）=f[（x2﹣x1）+x1]是解决的关键，属于中档题

1

题型：填空题

|

填空题

设是定义在上的奇函数，且当时，，若对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是　．

正确答案

试题分析：因为，函数是定义在R上的奇函数，且当时，，

所以，当时，

∴，

∴在R上是单调递增，且满足对任意，不等式恒成立

∴对任意，，即恒成立，

∴，故答案为.

1

题型：简答题

|

简答题

设f(x)是定义在［－1，1］上的奇函数，且对任意的实数a,b∈［－1,1］,当a+b

≠0时，都有>0.

（1）若a>b,试比较f(a)与f(b)的大小;

（2）解不等式f(x－));

（3）如果g(x)=f(x－c)和h(x)=f(x－c2)这两个函数的定义域的交集是空集，求c的取值范围.

正确答案

解：(1)任取x1,x2∈［－1,1］且设x12,由奇函数的定义和题设不等式，得

f(x2)－f(x1)=f(x2)+f(－x1)=·(x2－x1)>0,

∴f(x)在［－1，1］上是增函数.

∵a,b∈［－1,1］且a>b,∴f(a)>f(b)…………………………………4分

(2)∵f(x)是［－1，1］上的增函数

∴不等式f(x－))等价于不等式组

∴原不等式的解集为{x|－≤x≤}．…………………………………8分

(3)设函数g(x)、h(x)的定义域分别是P和Q，则P={x|－1≤x－c≤1}={x|c－1≤x≤c+1},Q={x|－1≤x－c2≤1}={x|c2－1≤x≤c2+1}，

若P∩Q=，那么c+12－1或c2+1

解得c的取值范围是(－∞,－1)∪(2,+∞). ………………………………12分

略

热门试卷

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案

正确答案