- 电磁感应现象的两类情况
- 共2344题
随着越来越高的摩天大楼在各地的落成，至今普遍使用的钢索悬挂式电梯已经渐渐地不适用了．这是因为钢索的长度随着楼层的增高而相应增加，这样这些钢索会由于承受不了自身的重量，还没有挂电梯就会被扯断．为此，科学技术人员正在研究用磁动力来解决这个问题．如图所示就是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1T，两磁场始终竖直向上作匀速运动．电梯桥厢固定在如图所示的一个阁超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为5×103kg，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长Lcd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长Lac相同，金属框整个回路的电阻R=9.5×10-4Ω，假如设计要求电梯以v1=10m/s的速度向上匀速运动，那么，（取g=10m/s2）
（1）磁场向上运动速度v0应该为多大？（结果保留两位有效数字）
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么此时系统的效率为多少？（结果保留三位有效数字）
正确答案
（1）当电梯匀速向上移动时，金属框中感应电流大小为：
I=
金属框所受安培力F=2B1ILcd②
由平衡条件得：
F=mg+f③
解①②③得v0=13m/s
（2）运动时能量由磁场提供，外界能量转化为三部分，一是线框的重力势能，二是线框产生电热，三是阻力的负功．由①式代入数据得，
I=1.26×104A
金属框中焦耳热功率为：P1=I2R=1.51×105W
有用功率为P2=mgv1=5×105W
阻力功率为P3=fv1=5×103W
系统效率η=
答：（1）磁场向上运动速度v0=13m/s
（2）此时系统的效率为76.2%
如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感强度为B0=1T．将一根质量为m=0.05kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，cd距离NQ为s=1m．试解答以下问题：（g=10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（2）金属棒达到的稳定速度是多大？
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t=1s时磁感应强度应为多大？
正确答案
（1）在达到稳定速度前，金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大．
达到稳定速度时，有FA=B0IL，mgsinθ=FA+μmgcosθ
则得 I=
（2）根据E=B0Lv、I=
v=
（3）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．
mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s2=2m/s2．
设t时刻磁感应强度为B，则：B0Ls=BL(s+vt+
B=
故t=1s时磁感应强度B=
答：
（1）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流是0.2A．
（2）金属棒达到的稳定速度是2m/s．
（3）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则t=1s时磁感应强度应为0.25T．
如图所示，一有界匀强磁场，磁感应强度大小均为B，方向分别垂直纸面向里和向外，磁场宽度均为L，在磁场区域的左侧相距为L处，有一边长为L的正方形导体线框，总电阻为R，且线框平面与磁场方向垂直．现使线框以速度v匀速穿过磁场区域．若以初始位置为计时起点，规定B垂直纸面向里时为正，
（1）试画出线框通过磁场区域过程中，线框中的磁通量Φ与前进的时间t之间的函数关系；
（2）求线框在通过磁场过程中，线框中电流的最大值；
（3）求线框在通过磁场过程中，拉力功率的最大值；
（4）在此过程中，线框中产生的热量Q．
正确答案
（1）在0-
在
在
在
（2）当线圈在
则最大电流I=
（3）当线圈在
安培力FA=BIL=
则拉力F=
拉力功率的最大值P=Fv=
（4）根据能量守恒定律得，线圈在
在
在
根据能量守恒定律得，Q=F1L+F2L+F3L=
答：（1）如图所示．
（2）线框在通过磁场过程中，线框中电流的最大值为
（3）线框在通过磁场过程中，拉力功率的最大值为
（4）线框中产生的热量Q为
如图所示，MN、PQ为间距L=0.5m足够长的平行导轨，NQ⊥MN．导轨平面与水平面间的夹角θ=37°，NQ间连接有一个R=5Ω的电阻．有一匀强磁场垂直于导轨平面，磁感强度为B0=1T．将一根质量为m=0.04kg的金属棒ab紧靠NQ放置在导轨上，且与导轨接触良好，导轨与金属棒的电阻均不计．现由静止释放金属棒，金属棒沿导轨向下运动过程中始终与NQ平行．已知金属棒与导轨间的动摩擦因数μ=0.5，当金属棒滑行至cd处时已经达到稳定速度，已知cd距离NQ为s米．试解答以下问题：（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）请定性说明金属棒在达到稳定速度前的加速度和速度各如何变化？
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流多大？
（3）金属棒达到的稳定速度是多大？
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感强度B应怎样随时间t变化（写出B与t的关系式）？
正确答案
（1）棒从静止释放，因切割磁感线，从而产生感应电流，受到安培力阻力作用，在达到稳定速度前，安培力越来越大，导致金属棒的加速度逐渐减小，速度逐渐增大．
（2）达到稳定速度时，则有棒受到的安培力，FA=B0IL
根据受力平衡条件，则有：mgsinθ=FA+μmgcosθ
I=
（3）切割感应电动势，E=B0Lv、
闭合电路欧姆定律，I=
解得：υ=
（4）当回路中的总磁通量不变时，金属棒中不产生感应电流．此时金属棒将沿导轨做匀加速运动．
mgsinθ-μmgcosθ=ma
a=g（sinθ-μcosθ）=10×（0.6-0.5×0.8）m/s2=2m/s2
B0Ls=BL(s+vt+
B=
答：（1）请定性说明金属棒在达到稳定速度前的加速度逐渐减小，速度逐渐增大．
（2）当金属棒滑行至cd处时回路中的电流0.16A；
（3）金属棒达到的稳定速度是1.6m/s；
（4）若将金属棒滑行至cd处的时刻记作t=0，从此时刻起，让磁感强度逐渐减小，可使金属棒中不产生感应电流，则磁感强度B与时间t变化关系为B=
如图所示，两根光滑的平行金属导轨处于同一水平面内，相距L=0.3m，导轨的左端M、N用0.2Ω的电阻R连接，导轨电阻不计．导轨上停放着一金属杆，杆的电阻r=0.1Ω，质量m=0.1kg，整个装置处于竖直向下的匀强磁场中，磁感强度B=0.5T．现在金属杆上施加一垂直于杆的水平外力F，使R上的电压每秒钟均匀地增加0.05V，且电流方向由M点流向N点，设导轨足够长，则：
（1）说明外力F的方向．
（2）写出外力F随时间变化的函数式．
（3）试求从杆开始运动后的2s内通过电阻R的电量．
正确答案
（1）根据楞次定律来感应电流的方向，再由左手定则来确定安培力的方向，即为：水平向左，
由于外力与安培力相平衡，所以外力的方向为：水平向右；
（2）因为U=IR，
闭合电路欧姆定律，I=
法拉第电磁感应定律，E=BLv
所以U=
则有：0.05=
解得：a=0.5m/s2
安培力大小，FA=BIL
则有，FA=B
解得：FA=0.0375t（N）
根据牛顿第二定律，F-FA=ma，
解得：F-0.0375t=0.1×0.5，
即F=0.05+0.0375t（N）
（3）因U1=0，
又U2=0.05×2=0.1V
则有，Q=
即Q=
解得：Q=0.5C
答：（1）说明外力F的方向为水平向右．
（2）则外力F随时间变化的函数式F=0.05+0.0375t（N）．
（3）则从杆开始运动后的2s内通过电阻R的电量0.5C．
如图所示，在磁感应强度大小为B的匀强磁场中，两条足够长的平行导轨组成一个倾角为53°的斜面框架，磁场方向与导轨所在平面垂直．导轨上端连接一阻值为2R的电阻和电键S，导轨电阻不计．两金属棒a和b的电阻均为R，质量分别为ma=0.05kg和mb=0.02kg，它们与导轨接触良好，并可沿导轨无摩擦地运动，g取10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6．
（1）若将b棒固定，电键S断开，用一平行斜面向上的恒力F拉a棒，当a棒以v1=5m/s的速度稳定向上匀速运动．此时再释放b棒，b棒恰能保持静止．求拉力F的大小；
（2）若将a棒固定，电键S闭合，让b棒自由下滑，求b棒滑行的最大速度v2；
（3）若将a棒和b棒都固定，电键S断开，使磁感应强度从B随时间均匀增加，经0.2s后磁感应强度增大到2B时，a棒所受到的安培力大小正好等于b棒的重力大小，求两棒间的距离d．
正确答案
（1）a棒作切割磁感线运动，产生感应电动势：ε=BLv1
a棒与b棒构成串联闭合电路，电路中的电流强度为 I=
a棒、b棒受到的安培力大小相等，均为Fa=Fb=BIL
根据平衡条件得：
对b棒有：BIL-mbgsin53°=0
对a棒有：F-BIL-magsin53°=0
联立解得F=（ma+mb）gsin53°=（0.05+0.02）×10×0.8N=0.56N
并得到 
（2）a棒固定、电键S闭合后，b棒自由下滑作切割磁感线运动，最终b棒以最大速度v2匀速运动，此时产生的感应电动势为：ε2=BLv2
a棒与电阻2R并联，再与b棒串联构成闭合电路，电流强度为I2=
由b棒受力平衡：BI2L-mbgsin53°=0
解得B•
代入得 v2=
（3）电键S断开后，当磁场均匀变化时，在a、b棒与平行导轨构成的闭合回路内产生的感应电动势为ε3=
依题意有：
解得：d=
答：
（1）拉力F的大小是0.56N；
（2）b棒滑行的最大速度v2是4.17m/s．
（3）两棒间的距离d为0.625m．
如图所示是一种磁动力电梯的模拟机，即在竖直平面上有两根很长的平行竖直轨道，轨道间有垂直轨道平面的匀强磁场B1和B2，且B1和B2的方向相反，大小相等，即B1=B2=1T，两磁场始终竖直向上作匀速运动．电梯桥厢固定在如图所示的一个用超导材料制成的金属框abcd内（电梯桥厢在图中未画出），并且与之绝缘．电梯载人时的总质量为750kg，所受阻力f=500N，金属框垂直轨道的边长Lcd=2m，两磁场的宽度均与金属框的边长Lac相同，金属框整个回路的电阻R=6×10-3Ω，假如设计要求电梯以v1=10m/s的速度向上匀速运动，那么，
（1）磁场向上运动速度v0应该为多大？
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么这些能量是由谁提供的？此时系统的效率为多少？
正确答案
（1）当电梯向上用匀速运动时，金属框中感应电流大小为
I=
金属框所受安培力F=2B1ILcd ②
由平衡条件知：安培力大小与重力和阻力之和相等，即有
F=mg+f ③
由①②③式求得：v0=13m/s．
（2）运动时电梯向上运动的能量由磁场提供的．
磁场提供的能量分为两部分，一部分转变为金属框的内能，另一部分克服电梯的重力和阻力做功．当电梯向上作匀速运动时，金属框中感应电流由①得：
I=2×103A
金属框中的焦耳热功率为：P1=I2R=2.4×104W ④
而电梯的有用功率为：P2=mgv1=7.5×104W ⑤
阻力的功率为：P3=f v1=5×103W ⑥
从而系统的机械效率 η=
代入解得 η=72.1% ⑧
答：
（1）磁场向上运动速度v0应该为是13m/s．
（2）在电梯向上作匀速运动时，为维持它的运动，外界必须提供能量，那么这些能量是由磁场提供的，此时系统的效率为72.1%．
如图所示，两光滑金属导轨MN和PQ平行放置在同一水平面内，两导轨间距离L=0.50m，在导轨两端分别接有阻值R=5.0Ω的电阻，金属杆ab接入电路的电阻r=2.5Ω．匀强磁场垂直穿过导轨所在平面，磁感应强度B=0.50T，金属杆垂直于导轨放置在导轨上，在外力作用下沿水平方向运动．导轨足够长，金属杆在运动过程中始终没有到达导轨的两端．取金属杆速度向右为正方向，金属杆速度v随时间t按照正弦规律变化，如图乙所示．忽略导轨电阻，金属杆与导轨接触良好．求：
（1）t=0.02s时，流过金属杆的瞬时电流大小i和电阻R两端的瞬时电压大小u；
（2）t=0.02s时，金属杆受到的安培力的大小F；
（3）在4.00s内，导轨两端电阻总共产生的焦耳热Q．
正确答案
（1）由图乙知：t=0.02s时金属杆的速度v=10m/s
产生的感应电动势为e=BLv=0.5×0.5×10V=2.5V
根据闭合电路欧姆定律得：
流过金属杆的瞬时电流大小 i=
电阻R两端的瞬时电压大小 u=e-ir=2.5-0.5×2.5=1.25V
（2）t=0.02s时，金属杆受到的安培力的大小F=BiL=0.5×0.5×0.5N=0.125N
（3）金属杆产生的是正弦交变电流，感应电动势的有效值为E=
由图知，t=0.02s时金属杆的速度最大，产生的感应电动势最大，R的电压最大值等于u．
电阻R两端的电压有效值为U=
则在4.00s内，导轨两端电阻总共产生的焦耳热Q=
答：
（1）t=0.02s时，流过金属杆的瞬时电流大小i是0.5A，电阻R两端的瞬时电压大小u是1.25V；
（2）t=0.02s时，金属杆受到的安培力的大小F是0.125N；
（3）在4.00s内，导轨两端电阻总共产生的焦耳热Q是0.625J．
如图所示，两根相距L=0.5m的平行金属足够长导轨固定在同一水平面内，并处于竖直方向的匀强磁场中，分界线O1O2右侧为磁感应强度B1=0.6T方向竖直向上的匀强磁场，左侧为磁感应强度为B2=0.4T方向竖直向下的匀强磁场，导轨上横放着两条金属细杆，构成矩形闭合回路，每条金属细杆的质量m=0.2kg，电阻为R=1.5Ω，回路中其余部分电阻可不计．开始时，ef速度为0，给cd一个大小为v0=2.6m/s水平向右的初速度，不计金属细杆与导轨之间的摩擦且接触良好．求：
（1）金属细杆ef的最大加速度．
（2）金属细杆，ef的最大速度．
（3）通过金属细杆ef的最多电荷量．
正确答案
（1）当cd棒向右运动时，产生感应电流，ef棒会受到向左的安培力作用，ef棒向左加速运动，也切割磁感线，产生感应电动势，ef的感应电动势与cd棒的感应电动势方向相反，使回路中感应电流减小，ef棒所受的安培力减小，加速度减小，所以开始时，ef的加速度最大．
感应电动势 E0=B1Lv0，感应电流为I0=
则得ef所受的安培力为F0=B2IL=
故金属细杆ef的最大加速度为amax=
代入数据解得，amax=0.26m/s2
（2）、（3）ef先做加速度减小的变加速运动，cd棒做减速运动，当两棒的感应电动势大小相等时，回路中感应电流为零，两棒不再受安培力，都做匀速直线运动，ef速度达到最大．设金属细杆ef的最大速度大小为v2，此时cd杆的速度大小为v1．
则有
B1Lv1=B2Lv2，
根据动量定理得：
对cd杆：-B1
对ef杆：B2
又 电量Q=
代入解得：v2=1.2m/s，Q=1.2C
答：
（1）金属细杆ef的最大加速度为0.26m/s2．
（2）金属细杆，ef的最大速度为1.2m/s．
（3）通过金属细杆ef的最多电荷量为1.2C．
如图所示，在绝缘光滑的水平面上，有一个质量为m、边长为L的正方形线框，用一垂直于ab 边的恒定外力将正方形线框以速率v1匀速拉进磁感应强度为B的有界匀强磁场区域，当正方形线框全部进入磁场后立即将外力撤去，线框最终能完全离开磁场，若测得cd边刚要离开磁场时速率为v2，已知磁场方向竖直向下，宽度为5L，正方形线框每条边的电阻均为R，求：
（1）恒定外力的大小；
（2）线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t和cd边刚要离开磁场时的电势差Ucd；
（3）整个过程中产生的焦耳热Q．
正确答案
（1）线框ab边刚进入磁场时，E1=Blv1，
线框中感应电流 I1=
安培力F安=BI1l，
线框进入磁场时做匀速运动，F外=F安．
联立以上各式得：外力F外=
（2）线框ab边刚进磁场时做匀速直线运动，撤去外力后完全进入磁场，没有感应电流产生，不受安培力，在未出磁场前仍是匀速运动，则线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t=
cd边刚要离开磁场时，cd边产生的感应电动势 E2=Blv2、
此时回路中感应电流 I2=
由欧姆定律得电势差Ucd=I2•3R=-
（3）进入磁场过程中产生的焦耳热等于克服安培力做功，即Q1=F安l=
穿出磁场过程中，产生的焦耳热为Q2=
所以全过程产生的焦耳热为Q=Q1+Q2=
答：
（1）恒定外力的大小是
（2）线框ab边刚进磁场到刚要出磁场时所用时间t为
cd边刚要离开磁场时的电势差Ucd是-
（3）整个过程中产生的焦耳热Q是
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