- 带电粒子在混合场中的运动
- 共247题
如图所示，在直角坐标系xoy平面的第Ⅱ象限内有半径为r的圆o1分别与x轴、y轴相切于C（－r，0）、D（0，r） 两点，圆o1内存在垂直于xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，与y轴负方向平行的匀强电场左边界与y轴重合，右边界交x轴于G点，一带正电的A粒子（重力不计）电荷量为q、质量为m，以某一速率垂直于x轴从C点射入磁场，经磁场偏转恰好从D点进入电场，最后从G点以与x轴正向夹角为45°的方向射出电场，求：
（1）A粒子在磁场区域的偏转半径及OG之间的距离；
（2）该匀强电场的电场强度E；
（3）若另有一个与A的质量和电荷量均相同、速率也相同的粒子A′，从C点沿与x轴负方向成30°角的方向射入磁 场，则粒子A′再次回到x轴上某点时，该点的坐标值为多少？
正确答案
见解析。
解析
（1）设粒子A射入磁场时的速率为v0 ，其在磁场中做圆周运动的圆心必在x轴上，设其圆心为OA，连接OAC、OAD，则OAC＝OAD＝r，所以OA与O点重合，故A粒子在磁场区域的偏转半径也是r. （2分）
A粒子运动至D点时速度与y轴垂直，粒子A从D至G作类平抛运动，设其加速度为a，在电场中运行的时间为t，由平抛运动的规律可得：
由运动学知识可得：
联立①②③解得：
（2）粒子A的轨迹圆半径为r ，由洛仑兹力和向心力公式可得：
由牛顿运动定律和电场力公式可得：
联立①②⑤⑥解得：
（3）设粒子A′在磁场中圆周运动的圆心为O′ ，因为∠O′ CA′ =90°，O′C=r，以 O′为圆心、r为半径做A′的轨迹圆交圆形磁场O1于H点，则四边形CO′H O1为菱形，故O′H∥y轴，粒子A′ 从磁场中出来交y轴于I点，HI⊥O′H，所以粒子A′也是垂直于y轴进入电场。（2分）
设粒子A′从J点射出电场，交x轴于K点，因与粒子A在电场中的运动类似，由（1）式可得：
OI－JG=r ⑧（2分）
又OI=r+rcos30° ⑨ （1分）
由⑧⑨式解得：JG=rcos30°=
根据图中几何知识可得：∠JKG=45°，GK=GJ ⑩
所以粒子A′再次回到x轴上的坐标为（
知识点
如图所示，AB、CD是处在方向垂直纸面向里、磁感应强度为的匀强磁场的两条金属导轨（足够长），导轨宽度为d，导轨通过导线分别与平行金属板MN相连，有一与导轨垂直且始终接触良好的金属棒ab以某一速度
（1）金属棒ab做匀速直线运动速度的大小B？
（2） 粒子到达H点时的速度多大？
（3）要使粒子不能回到y轴边界，电场强度以满足什么条件？
正确答案
见解析。
解析
金属棒ab在切割磁感线过程中产生的感应电动势为：
设粒子在F进入磁场时的速度为
由几何知识可得（如图）
粒子在通过MN过程中由动能定理得：
联解以上各式得：
（2）从D到C只有电场力对粒子做功，电场力做功与路径无关，根据动能定理，有
解得：
（3）
要使粒子不能回到y轴边界，
即 
知识点
如图所示，R1=R2=40Ω，R,3=25Ω，电源的内电阻r=5Ω，AB是一个电容器，电容器板间距是d=8cm，板长为L=8cm，电容器间有一垂直纸面方向的匀强磁场，磁感应强度B=0.5T。当开关闭合时，电容间有一电量q=8×10-4C，质量为m=8.0×-8kg的带正电的粒子能向右以500m/s匀速穿过这个区域，忽略重力影响。
⑴判断磁场的具体方向；
⑵求电源电动势；
⑶若断开开关S，带电粒子从左边中间射入，试判断该粒子能否射出该区域？若能射出该区域，求它射出该区域时，带电粒子的侧向位移及偏角。
正确答案
见解析。
解析
⑴若粒子带正电，则它所受的电场力向下，而洛伦兹力必然向上，由左手定则可以判断该区域的磁场方向垂直纸面向里。(2分)
⑵带电粒子在电场中所受的电场力为F=qE (1分) ①，板间的电场强度：
洛伦兹力f=qvB (1分)②，两力平衡，则有F=f (1分) ③
联立解得：U=dvB=8×10-2×500×0.5V=20V (1分)④
电路中的电流为：
而R1、R1并联的总电阻为R12=20Ω，则电源电动势为：
ε=I(R12+r)+U=0.8×(20+5)+20=40(V) (2分)
⑶当断开开关时，AB间的电场消失，带电粒子在洛伦兹力作用下
发生偏转的情况如图所示
洛伦兹力提供向心力：
则半径为：
则：侧向位移为：
偏角的正弦值为：
知识点
飞行时间质谱仪可以根据带电粒子的飞行时间对气体分子进行分析。如图所示，在真空状态下，自脉冲阀P喷出微量气体，经激光照射产生不同正离子，自a板小孔进入a、b间的加速电场，从b板小孔射出，沿中线方向进入M、N板间的方形区域，然后到达紧靠在其右侧的探测器。已知极板a、b间的电压为U0，间距为d，极板M、N的长度和间距均为L。不计离子重力及经过a板时的初速度。
（1）若M、N板间无电场和磁场，请推导出离子从a板到探测器的飞行时间t
与比荷k（k=
（2）若在M、N间只加上偏转电压U1，请论证说明不同正离子的轨迹是否重合；
（3）若在M、N间只加上垂直于纸面的匀强磁场。已知进入a、b间的正离子有一价和二价的两种，质量均为m，元电荷为e。要使所有正离子均能通过方形区域从右侧飞出，求所加磁场的磁感应强度的最大值Bm。
正确答案
见解析。
解析
（1）带电离子在平行板a、b间运动时，根据动能定理 
解得：
带电离子在平行板a、b间的加速度
所以，带电离子在平行板a、b间的运动时间
带电离子在平行板M、N间的运动时间
所以，带电离子的全部飞行时间
（2）正离子在平行板M、N间水平方向运动位移为x时，在竖直方向运动的位移为y。
水平方向满足 
竖直方向满足 
加速度 
由上述②、③、④式得：
⑤式是正离子的轨迹方程，与正离子的质量和电荷量均无关。所以，不同正离子的轨迹是重合的。
（3）当M、N间磁感应强度大小为B时，离子做圆周运动，满足
由上述①、⑥两式，解得：带电离子的轨道半径
上式表明：在离子质量一定的情况下，离子的电荷量越大，在磁场中做圆周运动的半径越小，也就越不容易穿过方形区从右侧飞出。所以，要使所有的一价和二价正离子均能通过方形区从右侧飞出，只要二价正离子能从方形区飞出即可。当二价正离子刚好能从方形区域飞出时的磁感应强度为满足题目条件的磁感应强度的最大值。
设当离子刚好通过方形区从右侧飞出时的轨道半径为R，由几何关系得
解得： 
将二价正离子的电量2e代入⑦式得：
由⑧、⑨式得：
知识点
如图所示，在竖直平面内放置一长为L的薄壁玻璃管，在玻璃管的a端放置一个直径比玻璃管直径略小的小球，小球带电荷量为-q、质量为m。玻璃管右边的空间存在着匀强电场与匀强磁场的复合场。匀强磁场方向垂直于纸面向外，磁感应强度为B；匀强电场方向竖直向下，电场强度大小为
求：
（1）小球从玻璃管b端滑出时速度的大小；
（2）从玻璃管进入磁场至小球从b端滑出的过程中，外力F随时间t变化的关系；
（3）通过计算画出小球离开玻璃管后的运动轨迹。
正确答案
见解析。
解析
（1）由
所以小球在管中运动的加速度为 
设小球运动至b端时竖直方向的速度分量为
联立解得小球运动至b端时速度大小为
（2）由平衡条件可知，玻璃管受到的水平外力为
解得外力随时间变化关系为
（3）设小球在管中运动时间为t，小球在磁场中做圆周运动的半径为R，轨迹如图甲所示。t时间内玻璃管的运动距离x = v0t
由牛顿第二定律得
由几何关系得 
所以
可得 sinα=0，故α=0o，
即小球飞离磁场时速度方向垂直于磁场边界向左，小球运动轨迹如图乙所示。
知识点
如图所示，坐标系xOy在竖直平面内，x轴正方向水平向右，y轴正方向竖直向上。y<0的区域有垂直于坐标平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B；在第一象限的空间内有与x轴平行的匀强电场（图中未画出）；第四象限有与x轴同方向的匀强电场；第三象限也存在着匀强电场（图中未画出）。一个质量为m、电荷量为q的带电微粒从第一象限的P点由静止释放，恰好能在坐标平面内沿与x轴成θ=30°角的直线斜向下运动，经过x轴上的a点进入y<0的区域后开始做匀速直线运动，经过y轴上的b点进入x<0的区域后做匀速圆周运动，最后通过x轴上的c点，且Oa=Oc。已知重力加速度为g，空气阻力可忽略不计，求：
（1）第一象限电场的电场强度E1的大小及方向；
（2）带电微粒由P点运动到c点的过程中，其电势能的变化量大小；
（3）带电微粒从a点运动到c点所经历的时间。
正确答案
见解析。
解析
（1）在第一象限内，带电微粒从静止开始沿Pa做匀加速直线运动，受重力mg和电场力qE1的合力一定沿Pa方向，电场力qE1一定水平向左。
带电微粒在第四象限内受重力mg、电场力qE2和洛仑兹力qvB做匀速直线运动，所受合力为零。分析受力可知微粒所受电场力一定水平向右，故微粒一定带正电。
所以，在第一象限内E1方向水平向左（或沿x轴负方向）。
根据平行四边形定则，有 mg=qE1tanθ
解得 E1=
（2）带电粒子从a点运动到c点的过程中，速度大小不变，即动能不变，且重力做功为零，所以从a点运动到c点的过程中，电场力对带电粒子做功为零。
由于带电微粒在第四象限内所受合力为零，因此有 qvBcosθ=mg
带电粒子通过a点的水平分速度vx=vcosθ=
带电粒子在第一象限时的水平加速度ax=qE1/m=
带电粒子在第一象限运动过程中沿水平方向的位移x=
由P点到a点过程中电场力对带电粒子所做的功W电=qE1x=
因此带电微粒由P点运动到c点的过程中，电势能的变化量大小
ΔE电=
（3）在第三象限内，带电微粒由b点到c点受重力mg、电场力qE3和洛仑兹力qvB做匀速圆周运动，一定是重力与电场力平衡，所以有
qE3=mg
设带电微粒做匀速圆周运动的半径为R，根据牛顿第二定律，有 qvB=mv2/R
带电微粒做匀速圆周运动的周期
T=
带电微粒在第三象限运动的轨迹如图所示，连接bc弦，因Oa=Oc，所以Δabc为等腰三角形，即∠Ocb=∠Oab=30°。过b点做ab的垂线，与x轴交于d点，因∠Oba=60°，所以∠Obd=30°, 因此Δbcd为等腰三角形，bc弦的垂直平分线必交于x轴上的d点，即d点为轨迹圆的圆心。
所以带电粒子在第四象限运动的位移xab=Rcotθ=
其在第四象限运动的时间t1=
由上述几何关系可知，带电微粒在第三象限做匀速圆周运动转过的圆心角为120°，即转过1/3圆周，所以从b到c的运动时间 t2=
因此从a点运动到c点的时间 t=t1+t2=
知识点
如图所示，在坐标系xOy所在平面内有一半径为a的圆形区域，圆心坐标O1（a , 0），圆内分布有垂直xOy平面的匀强磁场。在坐标原点O处有一个放射源，放射源开口的张角为90°，x轴为它的角平分线。带电粒子可以从放射源开口处在纸面内朝各个方向射出，其速率v、质量m、电荷量+q均相同。其中沿x轴正方向射出的粒子恰好从O1点的正上方的P点射出。不计带电粒子的重力，且不计带电粒子间的相互作用。
（1）求圆形区域内磁感应强度的大小和方向；
（2）a，判断沿什么方向射入磁场的带电粒子运动的时间最长，并求最长时间；
b，若在y≥a的区域内加一沿y轴负方向的匀强电场，放射源射出的所有带电粒子运动过程中将在某一点会聚，若在该点放一回收器可将放射源射出的带电粒子全部收回，分析并说明回收器所放的位置。
正确答案
见解析。
解析
（1）设圆形磁场区域内的磁感应强度为B，带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力提供向心力：
其中R=a
则：
由左手定则判断磁场方向垂直于xOy平面向里
（2）沿与x轴45°向下射出的带电粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图，根据几何关系粒子离开磁场时速度方向沿y轴正方向，∠OO3Q=135º。
设该带电粒子在磁场中运动的时间为t，根据圆周运动周期公式得：
所以：
（3）设某带电粒子从放射源射出，速度方向与x轴的夹角为α，做速度v的垂线，截取OO4=a，以O4为圆心a为半径做圆交磁场边界于M点。由于圆形磁场的半径与带电粒子在磁场中运动的半径均为a，故OO1MO4构成一个菱形，所以O4M与x轴平行，因此从放射源中射出的所有带电粒子均沿y轴正方向射出。带电粒子在匀强电场中做匀减速直线运动，返回磁场时的速度与离开磁场时的速度大小相等方向相反，再进入磁场做圆周运动，圆心为O5，OO4O5N构成一平行四边形，所以粒子在磁场中两次转过的圆心角之和为180°，第二次离开磁场时都经过N点。故收集器应放在N点，N点坐标为（2a，0）。
知识点
如图所示，直角坐标系Oxy位于竖直平面内，x轴与绝缘的水平面重合，在y轴右方有垂直纸面向里的匀强磁场和竖直向上的匀强电场，质量为m2=8×10-3kg的不带电小物块静止在原点O，A点距O点l=0.045m，质量m1=1×10-3kg的带电小物块以初速度v0=0.5m/s从A点水平向右运动，在O点与m2发生正碰并把部分电量转移到m2上，碰撞后m2的速度为0.1m/s，此后不再考虑m1、m2间的库仑力，已知电场强度E=40N/C，小物块m1与水平面的动摩擦因数为μ=0.1，取g=10m/s2，求：
（1）碰后m1的速度；
（2）若碰后m2做匀速圆周运动且恰好通过P点，OP与x轴的夹角θ=30°，OP长为lop=0.4m，求磁感应强度B的大小；
（3）其它条件不变，若改变磁场磁感应强度的大小为B/使m2能与m1再次相碰，求B/的大小？
正确答案
见解析。
解析
（1）m1与m2碰前速度为v1，由动能定理
代入数据解得：
设v2=0.1m/s，m1、m2正碰，由动量守恒有：
代入数据得：
（2）m2恰好做匀速圆周运动，所以
得：q=2×10-3C（１分）
粒子受洛仑兹力提供向心力，设圆周的半径为R则
轨迹如图，由几何关系有：
解得：B=1T（１分）
（3）当m2经过y轴时速度水平向左，离开电场后做平抛运动，m1碰后做匀减速运动。
m1匀减速运动至停，其平均速度为：
由牛顿第二定律有：
m1停止后离O点距离：
则m2平抛的时间：
平抛的高度：
设m2做匀速圆周运动的半径为R/，由几何关系有：
由
联立得：
知识点
如图，竖直平面
(1)小球运动到
(2)悬线断裂前瞬间拉力的大小；
(3)
正确答案
见解析。
解析
1）小球从A运到O的过程中，根据动能定理：
则得小球在
（2）小球运到
由③、④得：
（3）绳断后，小球做匀变速曲线运动，可分解为水平方向匀变速和竖直方向自由落体运动。
所以，小球水平方向加速度大小为：
小球从
竖直方向
知识点
质谱仪的工作原理示意图如右图所示，带电粒子被加速电场加速后，进人速度选择器，速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为B 和E，平板S 上有可让粒子通过的狭缝P 和记录粒子位置的胶片A1A2，平板S下方有强度为B0的匀强磁场，下列表述正确的是
正确答案
解析
略
知识点
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