柯西不等式的几何意义
共100题

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柯西不等式的几何意义
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题型：简答题

简答题

（1）选修4-2：矩阵与变换

已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量=，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

过点M（3，4），倾斜角为的直线l与圆C：（θ为参数）相交于A、B两点，试确定|MA|•|MB|的值．

（3）选修4-5：不等式选讲

已知实数a，b，c，d，e满足a+b+c+d+e=8，a2+b2+c2+d2+e2=16，试确定e的最大值．

正确答案

解：（1）设矩阵，这里a，b，c，d∈R，

则 =3 ，故

=，故

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．

（2）由已知得直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=25．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +3）t-15=0，

∴t1t2=15，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）

（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）

所以得：4（16-e）2≥（8-e）2．

解得：0≤e≤

不姐仅当a=b=c=d=时，e取最大值．

解析

解：（1）设矩阵，这里a，b，c，d∈R，

则 =3 ，故

=，故

联立以上两方程组解得a=1，b=2，c=2，d=1，故M=．

（2）由已知得直线l的参数方程为（t为参数），

即（t为参数）．（3分）

曲线的普通方程为（x-2）2+（y-1）2=25．（6分）

把直线的参数方程代入曲线的普通方程，得

t2+（ +3）t-15=0，

∴t1t2=15，（8分）

∴点P到A，B两点的距离之积为15．（10分）

（3）由柯西不等式，（a+b+c+d）2≤（12+12+12+12）（a2+b2+c2+d2）

所以得：4（16-e）2≥（8-e）2．

解得：0≤e≤

不姐仅当a=b=c=d=时，e取最大值．

题型：填空题

填空题

已知空间的点P（x，y，z）（x，y，z∈R）到原点O（0，0，0）的距离为3，则式子x+2y+2z的最大值与最小值的差是______．

正确答案

解析

解：∵|OP|2=x2+y2+z2=9，

∴根据柯西不等式，得，

由|x+2y+2z|≤9，得-9≤x+2y+2z≤9

当且仅当x=1，y=z=2时，x+2y+2z有最大值9，当x=-1，y=z=-2时，x+2y+2z有最小值-9．

最大最小值的差为18

故答案为：18

题型：填空题

填空题

函数y=2+的最大值为______．

正确答案

由题意得，，解得-≤x≤1，

则函数的定义域是[-，1]，

由柯西不等式得，

y=2+=2+≤×=3，

当且仅当2=，即x=时取到等号，

则当x=时，函数的最大值是3，

故答案为：3．

题型：填空题

填空题

设任意实数x0＞x1＞x2＞x3＞0，要使logx0x11993+logx1x21993+logx2x31993≥k•logx0x31993恒成立，则k的最大值是______．

正确答案

要使logx0x11993+logx1x21993+logx2x31993≥k•logx0x31993恒成立

即使++≥k•恒成立

令a=lgx0-lgx1，b=lgx1-lgx2，c=lgx2-lgx3，而x0＞x1＞x2＞x3＞0

∴a＞0，b＞0，c＞0

即使得++≥k•（a＞0，b＞0，c＞0）恒成立

即k≤（++）（a+b+c）的最小值

根据柯西不等式可知（++）（a+b+c）≥（×+×+×）2=（1+1+1）2=9

∴k的最大值是9

故答案为：9

题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=lnx+-1

（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；

（Ⅱ）设m∈R，对任意的a∈（-l，1），总存在xo∈[1，e]，使得不等式ma-（xo）＜0成立，求实数m的取值范围；

（Ⅲ）证明：ln2l+1n22+…+ln2n＞(n≥2，n∈N*)．

正确答案

（Ⅰ）f′（x）=-=，x＞0．

令f′（x）＞0，得x＞1，因此函数f（x）的单调递增区间是（1，+∞）．

令f′（x）＜0，得0＜x＜1，因此函数f（x）的单调递减区间是（0，1）．…（4分）

（Ⅱ）依题意，ma＜f（x）max．

由（Ⅰ）知，f（x）在[1，e]上是增函数，

∴f（x）max=f（e）=lne+-1=．

∴ma＜，即ma-＜0对于任意的a∈（-1，1）恒成立．

∴解得-≤m≤．

所以，m的取值范围是[-，]．…（8分）

（Ⅲ）由（Ⅰ）知函数f（x）在[1，+∞）上单调递增，

故f（x）=lnx+-1≥f（1）=0，

∴lnx≥1-，以x2替代x，得lnx2≥1-．

∴ln2l+1n22+…+ln2n＞1-+1-+…+1-

即ln2l+1n22+…+ln2n＞n-（++…+）．

又++…+＜1+++…+

∴-（++…+）＞-[1+++…+]

∴n-（++…+）＞n-[1+++…+]=n-[1+1-+-+…+-]=，

∴ln1+ln2+…+lnn＞．

由柯西不等式，

（ln2l+1n22+…+ln2n）（12+12+…+12）≥（ln1+ln2+…+lnn）2．

∴ln2l+1n22+…+ln2n≥（ln1+ln2+…+lnn）2＞(n≥2，n∈N*)．

∴ln2l+1n22，+…+ln2 n＞(n≥2，n∈N*)．…（14分）

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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