- 四种命题及其相互关系
- 共1945题
已知命题p：方程
正确答案
∵方程
∴
若p为真时：m＞2，
∵曲线y=x2+（2m-3）x+1与x轴交于不同的两点，
则△=（2m-3）2-4＞0⇒m＞
若q真得：m＞
由复合命题真值表得：若p∧q为假命题，p∨q为真命题，p，q命题一真一假
若p真q假：2＜m≤
若p假q真：m＜
∴实数m的取值范围为：2＜m≤
已知命题p：
（1）若p∧q为真命题，求实数x的取值范围；
（2）若p∨￢q为假命题，求实数x的取值范围．
正确答案
由
要使函数y=log2(x2-x-12)有意义，
须x2-x-12＞0，解得x＜-3或x＞4，即q：x＜-3或x＞4．
（1）若p∧q为真，则须满足
解得：4＜x＜5．
∴实数x的取值范围是（4，5）．
（2）若p∨¬q为假命题，
则p与¬q都为假命题
∵¬p与q都为真命题，
∴¬p：x≤0或x≥5．
∴满足
解得x＜-3或x≥5．
实数x的取值范围：x＜-3或x≥5．
已知命题p：关于x的方程x2+ax+a2-1=0有一正根和一负根；q：函数y=（2a2-a）1-x为减函数，若p或q为真p且q为假，求实数a的范围．
正确答案
令f（x）=x2+ax+a2-1，由题意得f（0）＜0，即a2-1＜0，
∴命题p即：-1＜a＜1．…（3分）
由命题q得：2a2-a＞1，即 a＜-
∴命题q即：a＜-
∵p或q为真p且q为假，∴p、q中必一真一假．
（1）当p真q假时，
（2）当p假q真时，
∴实数a的范围是a≤-1或-
例2：指出下列复合命题的形式及其构成．
（1）若α是一个三角形的最小内角，则α不大于60°；
（2）一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰直角三角形；
（3）有一个内角为60°的三角形是正三角形或直角三角形．
正确答案
（1）是非p形式的复合命题，其中p：若α是一个三角形的最小内角，则α＞60°．
（2）是p且q形式的复合命题，其中p：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是等腰三角形，q：一个内角为90°，另一个内角为45°的三角形是直角三角形．
（3）是p或q形式的复合命题，其中p：有一个内角为60°的三角形是正三角形，q：有一个内角为60°的三角形是直角三角形．
下列说法正确的是______．（写出所有正确说法的序号）
①若p是q的充分不必要条件，则￢p是￢q的必要不充分条件；
②设x，y∈R，命题“若xy=0，则x2+y2=0”的否命题是真命题；
③命题：“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题是“若x≠0且y≠0，则xy≠0”；
④“m=
正确答案
：①∵p是q的充分不必要条件，∴p⇒q为真命题，q⇒p为假命题，
故┐p⇒┐q为假命题，┐q⇒┐p为真命题，故┐p是┐q的必要不充分条件，即命题①正确．
②逆命题为：“若x2+y2=0，则xy=0”是真命题，据互为逆否命题的两个命题真假相同，可知其否命题为真命题，故命题②正确．
③命题：“若xy=0，则x=0且y=0”的逆否命题是“若x≠0，或y≠0，则xy≠0”，故③不正确．
④由“m=
但由“直线（m+2）x+3my+1=0与直线（m-2）x+（m+2）y-3=0相互垂直”可得m=-2，或 m=
故答案为 ①②．
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