- 绝对值三角不等式
- 共1644题
（选做题）已知f（x）=|ax+1|（a∈R），不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}。
（1）求a的值；
（2）若
正确答案
解：（1）由|ax+1|≤3得-4≤ax≤2
∵不等式f（x）≤3的解集为{x|-2≤x≤1}．
∴当a≤0时，不合题意；
当a＞0时，
∴a=2 。
（2）记
∴h（x）=
∴|h（x）|≤1
∴
∴k≥1。
已知函数f（x）=|x﹣a|．
（1）若不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a的值；
（2）在（1）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
解：（1）由f（x）≤3得|x﹣a|≤3，
解得a﹣3≤x≤a+3．
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|﹣1≤x≤5}，
所以
（2）当a=2时，f（x）=|x﹣2|．
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是
所以当x＜﹣3时，g（x）＞5；
当﹣3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
综上可得，g（x）的最小值为5．
从而，若f（x）+f（x+5）≥m 即g（x）≥m对一切实数x恒成立，
则m的取值范围为（﹣∞，5]．
已知函数f（x）=|x﹣a|．
（I）若不等式f（x）≤m的解集为{x|﹣1≤x≤5}，求实数a，m的值．
（II）当a=2时，解关于x的不等式f（x）+t≥f（x+2t）（t≥0）．
正确答案
解：（Ⅰ）由|x﹣a|≤m得a﹣m≤x≤a+m，
所以
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x﹣2|，
所以f（x）+t≧f（x+2t）
①当t=0时，不等式①恒成立，即x∈R；
当t＞0时，不等式①
解之得x＜2﹣2t或
综上，当t=0时，原不等式的解集为R，
当t＞0时，原不等式的解集为
设f（x）=|x+2|+|x-2|，
（1）证明：f（x）≥4；
（2）解不等式f（x）≥x2-2x+4．
正确答案
（1）∵|x+2|+|x-2|=|x+2|+|2-x|≥|（x+2）+（2-x）|=4，
∴f（x）≥4．（5分）
（2）当x＜-2时，f（x）=-2x≥x2-2x+4，解集为x∈∅；（7分）
当-2≤x≤2时，f（x）=4≥x2-2x+4，解集为[0，2]；（9分）
当x＞2时，f（x）=2x≥x2-2x+4，解集为∅（11分）
综上所述，f（x）≥x2-2x+4的解集为[0，2]．（12分）
（选做题）
已知函数f（x）=|3x+5|
（I） 解不等式f（x）＜x+3；
（II）关于的x不等式f（x）＜mx+3m的解集为
正确答案
解：（Ⅰ）依题意得，|3x+5|＜x+3，
∴
即
∴不等式f（x）＜x+3的解集为：（﹣2，﹣1）；
（Ⅱ）由f（x）＜mx+3m得，|3x+5|＜mx+3m，
∵f（x）＜mx+3m的解集为
∴mx+3m≤0．
∴当x≥﹣3时，m≤0；
当x＜﹣3时，m≥0．
综上所述，当x≥﹣3时，m≤0；当x＜﹣3时，m≥0．
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