热门试卷

证明见解析.

试题分析：不等式是对称式，特别是本题中不等式成立的条件是，因此我们可以用基本不等式，注意对称式的应用，如，对应的有，，这样可得①，同样方法可得，因此有②，①②相加，再应用基本不等式就可证明本题不等式了.

因为a，b，c均为正数，

由均值不等式得a2＋b2≥2ab，   b2＋c2≥2bc，    c2＋a2≥2ac．

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac．同理，

故a2＋b2＋c2＋≥ab＋bc＋ac＋≥6．

所以原不等式成立．                              10分

   （1）（2）证明略

（1） 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形  , 得 ,

（2）首先证明任意

事实上,

而

.

略

证明：法一：(分析法)　要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，

只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．

又因为a＋b＞0，只需证a2－ab＋b2＞ab成立．

又需证a2－2ab＋b2＞0成立，即需证(a－b)2＞0成立．

而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证．

法二：(综合法)　a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0　

⇒a2－ab＋b2＞ab.(*)

而a，b均为正数，∴a＋b＞0，

由(*)式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)，

∴a3＋b3＞a2b＋ab2.

证明略

证法一：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

(a+b)3－23=a3+b3+3a2b+3ab2－8=3a2b+3ab2－6

=3［ab(a+b)－2］=3［ab(a+b)－(a3+b3)］=－3(a+b)(a－b)2≤0。 

即(a+b)3≤23，又a+b＞0，所以a+b≤2，因为2≤a+b≤2，

所以ab≤1 

证法二：设a、b为方程x2－mx+n=0的两根，则，

因为a＞0，b＞0，所以m＞0，n＞0，且Δ=m2－4n≥0           ①

因为2=a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］=m(m2－3n)

所以n=                                           ②

将②代入①得m2－4()≥0，

即≥0，所以－m3+8≥0，即m≤2，所以a+b≤2，

由2≥m得4≥m2，又m2≥4n，所以4≥4n，

即n≤1，所以ab≤1 

证法三：因a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2－ab)≥(a+b)(2ab－ab)=ab(a+b)

于是有6≥3ab(a+b)，

从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3，所以a+b≤2，(下略）

证法四：因为

≥0，

所以对任意非负实数a、b，有≥

因为a＞0，b＞0，a3+b3=2，所以1=≥，

∴≤1，即a+b≤2，(以下略）

证法五：假设a+b＞2，则

a3+b3=(a+b)(a2－ab+b2)=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞(a+b)ab＞2ab，所以ab＜1，

又a3+b3=(a+b)［a2－ab+b2］=(a+b)［(a+b)2－3ab］＞2(22－3ab)

因为a3+b3=2，所以2＞2(4－3ab)，因此ab＞1，前后矛盾，

故a+b≤2(以下略)。