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题型:简答题
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简答题

已知均为正数,证明:

正确答案

证明见解析.

试题分析:不等式是对称式,特别是本题中不等式成立的条件是,因此我们可以用基本不等式,注意对称式的应用,如,对应的有,这样可得①,同样方法可得,因此有②,①②相加,再应用基本不等式就可证明本题不等式了.

因为a,b,c均为正数,

由均值不等式得a2+b2≥2ab,   b2+c2≥2bc,    c2+a2≥2ac.

所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.同理

故a2+b2+c2≥ab+bc+ac+≥6

所以原不等式成立.                              10分

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题型:简答题
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简答题

已知

的单调区间;

(2)若

正确答案

   (1)(2)证明略

(1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形  , 得 ,

(2)首先证明任意

事实上,

       

.

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题型:简答题
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简答题

(10分)设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.

正确答案

证明:法一:(分析法) 要证a3+b3>a2b+ab2成立,

只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.

又因为a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.

又需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.

而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,由此命题得证.

法二:(综合法) a≠b⇒a-b≠0⇒(a-b)2>0⇒a2-2ab+b2>0 

⇒a2-ab+b2>ab.(*)

而a,b均为正数,∴a+b>0,

由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),

∴a3+b3>a2b+ab2.

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题型:简答题
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简答题

a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1。

正确答案

证明略

证法一:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以

(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6

=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(ab)2≤0。 

即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2a+b≤2,

所以ab≤1 

证法二:设ab为方程x2mx+n=0的两根,则

因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,且Δ=m2-4n≥0           ①

因为2=a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n)

所以n=                                           ②

将②代入①得m2-4()≥0,

≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,

由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n

n≤1,所以ab≤1 

证法三:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以

2=a3+b3=(a+b)(a2+b2ab)≥(a+b)(2abab)=ab(a+b)

于是有6≥3ab(a+b),

从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2,(下略)

证法四:因为

≥0,

所以对任意非负实数ab,有

因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以1=

≤1,即a+b≤2,(以下略)

证法五:假设a+b>2,则

a3+b3=(a+b)(a2ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+b)ab>2ab,所以ab<1,

a3+b3=(a+b)[a2ab+b2]=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab)

因为a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,

a+b≤2(以下略)。

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题型:填空题
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填空题

观察下列不等式:1>,1++>1,1+++ +,1+++ +>2,1+++ +, ,由此猜测第n个不等式为               (n∈N*).

正确答案

1+++ +

试题分析:观察给出的不等式,;;;

 ,;

由此猜测第n个不等式为.

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