- 比较法
- 共208题
已知均为正数,证明:
.
正确答案
证明见解析.
试题分析:不等式是对称式,特别是本题中不等式成立的条件是,因此我们可以用基本不等式,注意对称式的应用,如
,对应的有
,
,这样可得
①,同样方法可得
,因此有
②,①②相加,再应用基本不等式就可证明本题不等式了.
因为a,b,c均为正数,
由均值不等式得a2+b2≥2ab, b2+c2≥2bc, c2+a2≥2ac.
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac.同理,
故a2+b2+c2+≥ab+bc+ac+
≥6
.
所以原不等式成立. 10分
已知
的单调区间;
(2)若
正确答案
(1)(2)证明略
(1) 对 已 知 函 数 进 行 降 次 分 项 变 形 , 得 ,
(2)首先证明任意
事实上,
而
.
(10分)设a,b均为正数,且a≠b,求证:a3+b3>a2b+ab2.
正确答案
略
证明:法一:(分析法) 要证a3+b3>a2b+ab2成立,
只需证(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b)成立.
又因为a+b>0,只需证a2-ab+b2>ab成立.
又需证a2-2ab+b2>0成立,即需证(a-b)2>0成立.
而依题设a≠b,则(a-b)2>0显然成立,由此命题得证.
法二:(综合法) a≠b⇒a-b≠0⇒(a-b)2>0⇒a2-2ab+b2>0
⇒a2-ab+b2>ab.(*)
而a,b均为正数,∴a+b>0,
由(*)式即得(a+b)(a2-ab+b2)>ab(a+b),
∴a3+b3>a2b+ab2.
若a>0,b>0,a3+b3=2,求证:a+b≤2,ab≤1。
正确答案
证明略
证法一:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以
(a+b)3-23=a3+b3+3a2b+3ab2-8=3a2b+3ab2-6
=3[ab(a+b)-2]=3[ab(a+b)-(a3+b3)]=-3(a+b)(a-b)2≤0。
即(a+b)3≤23,又a+b>0,所以a+b≤2,因为2≤a+b≤2,
所以ab≤1
证法二:设a、b为方程x2-mx+n=0的两根,则,
因为a>0,b>0,所以m>0,n>0,且Δ=m2-4n≥0 ①
因为2=a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]=m(m2-3n)
所以n= ②
将②代入①得m2-4()≥0,
即≥0,所以-m3+8≥0,即m≤2,所以a+b≤2,
由2≥m得4≥m2,又m2≥4n,所以4≥4n,
即n≤1,所以ab≤1
证法三:因a>0,b>0,a3+b3=2,所以
2=a3+b3=(a+b)(a2+b2-ab)≥(a+b)(2ab-ab)=ab(a+b)
于是有6≥3ab(a+b),
从而8≥3ab(a+b)+2=3a2b+3ab2+a3+b3=(a+b)3,所以a+b≤2,(下略)
证法四:因为
≥0,
所以对任意非负实数a、b,有≥
因为a>0,b>0,a3+b3=2,所以1=≥
,
∴≤1,即a+b≤2,(以下略)
证法五:假设a+b>2,则
a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)=(a+b)[(a+b)2-3ab]>(a+b)ab>2ab,所以ab<1,
又a3+b3=(a+b)[a2-ab+b2]=(a+b)[(a+b)2-3ab]>2(22-3ab)
因为a3+b3=2,所以2>2(4-3ab),因此ab>1,前后矛盾,
故a+b≤2(以下略)。
观察下列不等式:1>,1+
+
>1,1+
+
+ +
>
,1+
+
+ +
>2,1+
+
+ +
>
, ,由此猜测第n个不等式为 (n∈N*).
正确答案
1++
+ +
>
试题分析:观察给出的不等式,;
;
;
,
;
由此猜测第n个不等式为.
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