- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
某学校数学兴趣小组有10名学生，其中有4名女同学；英语兴趣小组有5名学生，其中有3名女学生，现采用分层抽样方法（层内采用不放回简单随机抽样）从数学兴趣小组、英语兴趣小组中共抽取3名学生参加科技节活动．
（1）求从数学兴趣小组、英语兴趣小组各抽取的人数；
（2）求从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率；
（3）记ξ表示抽取的3名学生中男学生数，求ξ的分布列及数学期望．
正确答案
解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；
（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为
（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有
∴ξ的分布列为：
=．
解析
解：（1）按比例计算得，抽取数学小组的人数为2人；英语小组的人数为1人；
（2）从数学兴趣小组抽取的学生中恰有1名女学生的概率为
（3）分析知ξ的取值可以为0，1，2，3，故有
∴ξ的分布列为：
=．
一质地均匀的小正方体，有三面标有0，两面标有1，另一面标有2，将这小正方体连续抛掷两次，若用随机变量ξ表示两次中出现向上面所标有的数字之积，则数学期望Eξ=______．
正确答案
解析
解：由题意知随机变量ξ的可能取值是0，1，2，4
当变量为0时，表示两次中至少有一个0
这两个事件是相互独立事件，得到P（ξ=0）=
同理P（ξ=1）=
P（ξ=2）=2×
P（ξ=4）=
∴Eξ=
故答案为：
我市某校高三年级有男生720人，女生480人，教师80人，用分层抽样的方法从中抽取16人，进行新课程改革的问卷调查．设其中某项问题的选择分为“同意”与“不同意”两种，且每人都做了一种选择．下面表格中提供了被调查人答卷情况的部分信息．
（Ⅰ）求x、y、z的值
（Ⅱ）若面向高三年级全体学生进行该问卷调查，试根据上述信息，估计高三年级学生选择“同意”的人数；
（Ⅲ）从被调查的女生中选取3人进行交谈，设选到的3名女生中，选择“同意”的人数为ξ，求ξ的分布列与数学期望．
正确答案
解：（I）男生抽：
教师抽：16-9-6=1人，
∴x+5=9，y+3=6，1+z=1，
解得：x=4，y=3，z=0．
（II）高三年级学生“同意”的人数约为1200×
（Ⅲ）ξ的可能取值是0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列
Eξ=0×+1×+2×+3×=1.5．
解析
解：（I）男生抽：
教师抽：16-9-6=1人，
∴x+5=9，y+3=6，1+z=1，
解得：x=4，y=3，z=0．
（II）高三年级学生“同意”的人数约为1200×
（Ⅲ）ξ的可能取值是0，1，2，3，则
P（ξ=0）=
∴ξ的分布列
Eξ=0×+1×+2×+3×=1.5．
某会议室用5盏灯照明，每盏灯各使用灯泡一只，且型号相同．假定每盏灯能否正常照明只与灯泡的寿命有关，该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．从使用之日起每满1年进行一次灯泡更换工作，只更换已坏的灯泡，平时不换．
（Ⅰ）在第一次灯泡更换工作中，求不需要换灯泡的概率和更换2只灯泡的概率；
（Ⅱ）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，求该盏灯需要更换灯泡的概率；
（Ⅲ）当p1=0.8，p2=0.3时，求在第二次灯泡更换工作，至少需要更换4只灯泡的概率（结果保留两个有效数字）．
正确答案
解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．
所以寿命为1～2年的概率应为p1-p2．其分布列为：
（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p15，需要更换2只灯泡的概率为C52p13（1-p1）2；
（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：
①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1-p2．
故所求的概率为p3=（1-p1）2+p1-p2．
（III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（1-p1）2+p1（p1-p2）=0.54．
在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：
①换5只的概率为p35=0.545=0.046；
②换4只的概率为C51p34（1-p3）=5×0.544（1-0.54）=0.196，
故至少换4只灯泡的概率为：p4=0.046+0.196=0.242．
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242．
解析
解：因为该型号的灯泡寿命为1年以上的概率为p1，寿命为2年以上的概率为p2．
所以寿命为1～2年的概率应为p1-p2．其分布列为：
（I）一只灯泡需要不需要换，可以看做一个独立重复试验，根据公式得到
在第一次更换灯泡工作中，不需要换灯泡的概率为p15，需要更换2只灯泡的概率为C52p13（1-p1）2；
（II）在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡是两个独立事件的和事件：
①在第1、2次都更换了灯泡的概率为（1-p1）2；
②在第一次未更换灯泡而在第二次需要更换灯泡的概率为p1-p2．
故所求的概率为p3=（1-p1）2+p1-p2．
（III）由（II）当p1=0.8，p2=0.3时，在第二次灯泡更换工作中，对其中的某一盏灯来说，该盏灯需要更换灯泡的概率p3=（1-p1）2+p1（p1-p2）=0.54．
在第二次灯泡更换工作，至少换4只灯泡包括换5只和换4只两种情况：
①换5只的概率为p35=0.545=0.046；
②换4只的概率为C51p34（1-p3）=5×0.544（1-0.54）=0.196，
故至少换4只灯泡的概率为：p4=0.046+0.196=0.242．
即满两年至少需要换4只灯泡的概率为0.242．
方案一：采取摸球抽奖的方法．在盒子中放入大小相同的10个小球，其中白球7个，黄球3个．顾客在购买一件该商品后，有连续三次摸球的机会，每次摸出一个小球，且每次摸出小球后不放回，每摸得一个黄球奖励价值20元的奖品一件．
方案二：采用转动如图所示的图形转盘的方式抽奖．顾客在购买该商品后，用力转动圆盘一次，根据箭头A指向确定获得相应价值的奖品一件（箭头A指向每个区域的可能性相等，指向区域边界时重新转动）．
（I）按照这两种方案各进行一次抽奖，分别求出顾客能中奖的概率；
（II）设按照方案一抽奖顾客能获得的奖品的价值为X元，按照方案二抽奖顾客能获得的奖品的价值为Y元，分别求出X和Y的分布列和数学期望．
正确答案
解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A
记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A
则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）=
按照方案一抽奖，中奖的概率为1-P（A）=
因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为
（II）由题意知，变量X的可能取值是0，20，40，60．
P（X=0）=
P（X=40）=
∴X的分布列是：
则EX=0×
由题意知，变量Y的可能取值是0，10，30，50．
P（Y=0）=
∴Y的分布列是：
则EY=0×
解析
解：（I）按照第一种方案进行抽奖，连续三次不放回地摸球，共含有基本事件数是A
记“三次摸到的都是白球”为事件A，事件A包含的基本事件数为A
则按照方案一抽奖，不能中奖的概率为P（A）=
按照方案一抽奖，中奖的概率为1-P（A）=
因箭头A指向每个区域是等可能的，有奖的区域3个，所以按照方案二，能中奖的概率为
（II）由题意知，变量X的可能取值是0，20，40，60．
P（X=0）=
P（X=40）=
∴X的分布列是：
则EX=0×
由题意知，变量Y的可能取值是0，10，30，50．
P（Y=0）=
∴Y的分布列是：
则EY=0×
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