- 离散型随机变量及其分布列
- 共3480题
设随机变量ξ的分布列为
正确答案
解析
解：∵随机变量ξ的分布列为
∴
∵
∴
故答案为：
同时掷两枚骰子，它们各面分别刻有：1、2、2、3、3、3，若ξ为掷得点数之积，则Eξ=______．
正确答案
解析
解：投两个骰子共有36种可能，列出所有结果，可以看出掷得点数之积ξ为1、2、3、4、6、9
结合表格写出变量的分布列
∴ξ的分布列为：
∴Eξ=
一个袋中有若干个大小相同的黑球、白球和红球．已知从袋中任意摸出1个球，得到黑球的概率是
（Ⅰ）若袋中共有10个球，从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为ξ，求随机变量ξ的数学期望Eξ．
（Ⅱ）求证：从袋中任意摸出2个球，至少得到1个黑球的概率不大于
正确答案
解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则
得到x=5．
故白球有5个．
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
∴分布列是
∴ξ的数学期望
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得
∴2y＜n，2y≤n-1，
故
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于
故袋中红球个数最少．
解析
解：（Ⅰ）记“从袋中任意摸出两个球，至少得到一个白球”为事件A，
设袋中白球的个数为x，
则
得到x=5．
故白球有5个．
随机变量ξ的取值为0，1，2，3，
∴分布列是
∴ξ的数学期望
（Ⅱ）证明：设袋中有n个球，其中y个黑球，由题意得
∴2y＜n，2y≤n-1，
故
记“从袋中任意摸出两个球，至少有1个黑球”为事件B，
则
∴白球的个数比黑球多，白球个数多于
故袋中红球个数最少．
一个袋子内装有若干个黑球，3个白球，2个红球（所有的球除颜色外其它均相同），从中任取2个球，每取得一个黑球得0分，每取一个白球得1分，每取一个红球得2分，已知得0分的概率为
（Ⅰ）求袋子内黑球的个数；
（Ⅱ）求X的分布列．
正确答案
解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则Pp（ξ=0）=
化简得：n2-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即有4个黑球．…（6分）
（Ⅱ）p（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ ξ=4）=
∴ξ的分布列
…（12分）
解析
解：（Ⅰ）设袋中黑球的个数为n，则Pp（ξ=0）=
化简得：n2-3n-4=0，解得n=4 或n=-1 （舍去），即有4个黑球．…（6分）
（Ⅱ）p（ξ=0）=
P（ξ=2）=
P（ ξ=4）=
∴ξ的分布列
…（12分）
PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095-2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取10天的数据作为样本，监测值频数如表所示：
（1）从这10天的PM2.5日均值监测数据中，随机抽取3天，求恰有1天空气质量达到一级的概率；
（2）从这10天的数据中任取3天数据，记ξ表示抽到PM2.5监测数据超标的天数，求ξ的分布列；
（3）以这10天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量状况，则一年（按366天算）中平均有多少天的空气质量达到一级或二级．（精确到整数）
正确答案
解：（1）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级．
∴随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率P=
（2）由题意可得ξ=0，1，2，3．
则P（ξ=3）=
所以其分布列为：
（3）一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的概率为P=0.7，
一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B（366，0.7），
∴Eη=366×0.7=256.2≈256，
∴一年（按366天算）中平均有256天的空气质量达到一级或二级．
解析
解：（1）由表格可知：这10天的PM2.5日均值监测数据中，只有3天达到一级．
∴随机抽取3天，恰有1天空气质量达到一级的概率P=
（2）由题意可得ξ=0，1，2，3．
则P（ξ=3）=
所以其分布列为：
（3）一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的概率为P=0.7，
一年（按366天算）中空气质量达到一级或二级的天数为η，则η～B（366，0.7），
∴Eη=366×0.7=256.2≈256，
∴一年（按366天算）中平均有256天的空气质量达到一级或二级．
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