- 函数性质的综合应用
- 共6029题
已知奇函数y=f（x）在定义域R上单调递增，g（x）=f（x+1）+f（x-1）且f（2）=1，
（1）求：g（1）与g（-1）的值，请猜测函数g（x）的奇偶性，并加以证明；
（2）判断函数g（x）的单调性（不需证明），并解关于x的不等式g（x2-x-1）＞0。
正确答案
解：（1）
（2）增函数；
设定义域为R的函数f（x）满足下列条件：①对任意x∈R，f（x）+f（-x）=0；②对任意x1，x2∈[1，a]，当x2>x1时，有f（x2）>f（x1）求证：
正确答案
解：由条件①知
因为a>1
所以
即
又
即
所以
因此，根据条件②，得
即
故
定义在R上的偶函数y=f(x)在(-∞，0]上递增，函数f(x)的一个零点为
正确答案
解：∵
∵f(x)为偶函数，∴f(
∵f(x)在(-∞，0]上递增，
∴0≥
∵f(x)为偶函数，
∴f(x)在[0，+∞)上单调减，
又f(
∴0≤
∴
故x的取值集合为{x|
已知函数
（1）判断f(x)的奇偶性；
（2）确定f(x)在(-∞，0)上是增函数还是减函数？在区间(0，+∞)上呢？请证明你的结论。
正确答案
解：（1）因为f(x)的定义域为R，
又
所以f(x)为偶函数。
（2）f(x)在(-∞，0)上是增函数，由于f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，+∞)上为减函数，
证明：取
因为
所以，
所以f(x)在(-∞，0)上为增函数，同理，f(x)在(0，+∞)上为减函数。
已知函数f（x）对任意实数x、y都有f（xy）=f（x）•f（y），且f（-1）=1，f（27）=9，当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）判断f（x）在[0，+∞）上的单调性，并给出证明；
（3）若a≥0且f（a+1）≤
正确答案
（1）令y=-1，则f（-x）=f（x）•f（-1），
∵f（-1）=1，∴f（-x）=f（x），且x∈R
∴f（x）为偶函数．
（2）若x≥0，则f（x）=f(
若存在x0＞0，使得f（x0）=0，则f(27)=f(x0•
∴当x＞0时，f（x）＞0
设0≤x1＜x2，则0≤
∴f（x1）=f(
∵当x≥0时f（x）≥0，且当0≤x＜1时，0≤f（x）＜1．
∴0≤f(
∴f（x1）＜f（x2），
故函数f（x）在[0，+∞）上是增函数．
（3）∵f（27）=9，又f（3×9）=f（3）•f（9）=f（3）•f（3）•f（3）=[f（3）]3，
∴9=[f（3）]3，
∴f（3）=
∵f（a+1）≤
∴f（a+1）≤f（3），
∵a≥0，
∴（a+1）∈[0，+∞），3∈[0，+∞），
∵函数在[0，+∞）上是增函数．
∴a+1≤3，即a≤2，
又a≥0，
故0≤a≤2．
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