- 直线、圆及圆锥曲线的交汇问题
- 共97题
已知椭圆的离心率为
,直线
与以原点为圆心,
椭圆的短半轴为半径的圆相切。
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆与曲线
的交点为
、
,求
面积的最大值。
正确答案
见解析
解析
知识点
已知椭圆(
)的焦点坐标为
,离心率为
,直线
交椭圆于
,
两点。
(1)求椭圆的方程;
(2)是否存在实数,使得以
为直径的圆过点
?若存在,求出
的值;若不存在,请说明理由。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)由,
,
得
,
,
所以椭圆方程是: ……………………4分
(2)设,
则
,
将代入
,整理得
(*)
则 ………………………7分
以PQ为直径的圆过,则
,即
, ………………………………12分
解得,此时(*)方程
,
所以 存在,使得以
为直径的圆过点
, ……14分
知识点
已知抛物线的焦点为椭圆
的右焦点,且椭圆的长轴长为4,M、N是椭圆上的的动点。
(1)求椭圆标准方程;
(2)设动点满足:
,直线
与
的斜率之积为
,证明:存在定点
,使得
为定值,并求出
的坐标;
(3)若在第一象限,且点
关于原点对称,
垂直于
轴于点
,连接
并延长交椭圆于点
,记直线
的斜率分别为
,证明:
。
正确答案
见解析。
解析
(1)由题设可知:因为抛物线的焦点为
,
所以椭圆中的又由椭圆的长轴为4得
故
故椭圆的标准方程为:
(2)设,
由可得:
由直线OM与ON的斜率之积为可得:
,即
由①②可得:
M、N是椭圆上的点,故
故,即
由椭圆定义可知存在两个定点,
使得动点P到两定点距离和为定值;
(3)设,由题设可知
,
由题设可知斜率存在且满足
.③
将③代入④可得:
⑤
点在椭圆
,
故
知识点
已知抛物线和双曲线都经过点,它们在x轴上有共同焦点,对称轴是坐标轴,抛物线的定点为坐标原点。.
(1)求抛物线和双曲线标准方程;
(2)已知动直线m过点P(3,0),交抛物线于A,B两点,记以线段AP为直径的圆为圆C,
求证:存在垂直于x轴的直线l被圆C截得的弦长为定值,并求出直线l的方程。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知焦点在轴的椭圆方程为
,过椭圆长轴的两顶点做圆
的切线,若切线围成的四边形的面积为
,则椭圆的离心率为
正确答案
解析
略
知识点
如图,焦距为2的椭圆D的两个顶点分别为和
,且
与
共线。
(1)求椭圆D的标准方程;
(2)过点且斜率为
的直线l与椭圆D有两个不同的交点P和Q ,若以PQ为直径的圆经过原点O,求实数m的值。
正确答案
(1)
(2)
解析
(1)设椭圆E的标准方程为,由已知得
,∴
,∵
与
共线,∴
,又
(3分)
∴ ,∴ 椭圆E的标准方程为
(5分)
(2)设,把直线方程
代入椭圆方程
,
消去y,得,,
∴,
(7分)
,∴
(8分)
∵以PQ为直径的圆经过原点O ∴,即
(9分)
又
由得
,∴
(11分)
∴(12分)
知识点
已知椭圆的焦点为
,点
在椭圆
上。
(1)求椭圆的方程;
(2)若抛物线(
)与椭圆
相交于点
、
,当
(
是坐标原点)的面积取得最大值时,求
的值。
正确答案
见解析
解析
(1)依题意,设椭圆的方程为
,
,
,所以
,
,所以
,椭圆
的方程为
(2)根据椭圆和抛物线的对称性,设、
(
),
的面积
,
在椭圆上,
,所以
,
当且仅当时,等号成立
解(
)得
即
在抛物线
上,
所以,解得
知识点
已知椭圆C:的离心率
,一条准线方程为
。
(1)求椭圆C的方程;
(2)设G,H为椭圆上的两个动点,O为坐标原点,且OG⊥OH。
①当直线OG的倾斜角为60°时,求△GOH的面积;
②是否存在以原点O为圆心的定圆,使得该定圆始终与直线GH相切?若存在,请求出该定圆方程;若不存在,请说明理由。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为椭圆的离心率,一条准线方程为
。
所以,
,a2=b2+c2,
解得,
所以椭圆方程为,
(2)①由,解得
,
由得
,
所以,所以
,
②假设存在满足条件的定圆,设圆的半径为R,则OG•OH=R•GH
因为OG2+OH2=GH2,故,
当OG与OH的斜率均存在时,不妨设直线OG方程为:y=kx,与椭圆方程联立,可得,
∴
同理可得
∴,∴R=
当OG与OH的斜率有一个不存在时,可得
故满足条件的定圆方程为x2+y2=。
知识点
已知双曲线,过其左焦点
作圆
的两条切线,切点记作
,
,原点为
,
,其双曲线的离心率为(
)
正确答案
解析
略
知识点
11.以抛物线上的点
为圆心,并过此抛物线焦点的圆的方程是 ( ).
正确答案
解析
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知识点
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