直线、圆及圆锥曲线的交汇问题_章节学习

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题型：简答题

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简答题 · 13 分

20．

已知椭圆（a﹥b﹥0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点在椭圆E上。

(Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：︳MA︳·︳MB︳=︳MC︳·︳MD︳

正确答案

知识点

椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 14 分

21.已知椭圆C:（a>b>0）的长轴长为4，焦距为2.

（I）求椭圆C的方程；

(Ⅱ)过动点M(0，m)(m>0)的直线交x轴与点N，交C于点A，P(P在第一象限)，且M是线段PN的中点.过点P作x轴的垂线交C于另一点Q，延长线QM交C于点B.

(i)设直线PM、QM的斜率分别为k、k'，证明为定值.

(ii)求直线AB的斜率的最小值.

正确答案

(Ⅰ) .(Ⅱ)(i)见解析；(ii)直线AB 的斜率的最小值为 .

解析

试题分析：(Ⅰ)分别计算a,b即得.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

得到直线PM的斜率，直线QM的斜率.证得.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

应用一元二次方程根与系数的关系得到，

，

得到

应用基本不等式即得.

试题解析：(Ⅰ)设椭圆的半焦距为c，

由题意知，

所以，

所以椭圆C的方程为.

(Ⅱ)(i)设，

由M(0,m)，可得

所以直线PM的斜率，

直线QM的斜率.

此时，

所以为定值-3.

(ii)设，

直线PA的方程为y=kx+m，

直线QB的方程为y=-3kx+m.

联立，

整理得.

由可得，

所以，

同理.

所以，

，

所以

由，可知k>0，

所以，等号当且仅当时取得.

此时，即，符号题意.

所以直线AB 的斜率的最小值为 .

考查方向

椭圆的标准方程及其几何性质；直线与椭圆的位置关系；基本不等式.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 12 分

已知A是椭圆E：的左顶点，斜率为的直线交E与A，M两点，点N在E上，.

（I）当时，求的面积

(II) 当2时，证明：.

正确答案

（Ⅰ）设，则由题意知.

由已知及椭圆的对称性知，直线的倾斜角为，

又，因此直线的方程为.

将代入得，

解得或，所以.

因此的面积.

（2）将直线的方程代入得

.

由得，故.

由题设，直线的方程为，故同理可得.

由得，即.

设，则是的零点，，

所以在单调递增，又，

因此在有唯一的零点，且零点在内，所以.

知识点

椭圆的定义及标准方程椭圆的几何性质圆锥曲线中的范围、最值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

12.已知圆C的圆心坐标为，抛物线的准线被圆C截得的弦长为2，则圆C的方程为_________；

正确答案

解析

.

根据抛物线几何性质可知准线方程，则圆心到直线的距离，根据相交弦公式

所以圆的标准方程为

考查方向

本题主要考察了抛物线的几何性质，考察了直线与圆相交的性质，考察了直线和圆的相交弦问题，考察了圆的标准方程

解题思路

该题思路比较清晰，主要有以下几个步骤1、写出准线方程2、求出圆心到直线的距离3、利用相交弦公式求出半径4、带入求出圆的标准方程

易错点

本题易错点主要集中在准线的表达，弦长公式的表达

知识点

圆的一般方程直线与圆相交的性质抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.双曲线的渐近线与圆相切，则此双曲线的离心率为（）

A

B2

C

D

正确答案

B

解析

圆心坐标为，渐进线方程为，圆心到直线的距离为1，。选项A、C、D不正确，选项B正确，所以选B选项。

考查方向

本题主要考查了离心率的求解/本题主要考查运算求解能力

易错点

找不到关于ａ、ｂ、ｃ的方程，计算量大，容易出现计算错误。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：简答题

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简答题 · 14 分

20．如图，椭圆的离心率为，其左顶点在圆上．

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）直线与椭圆的另一个交点为，与圆的另一个交点为．

（i）当时，求直线的斜率；

（ii）是否存在直线，使得? 若存在，求出直线的斜率；若不存在，

说明理由．

正确答案

（Ⅰ）；

（Ⅱ）（i）；

（ii）不存在直线，使得．

解析

（Ⅰ）

因为椭圆的左顶点在圆上，所以．

又离心率为，所以，所以,

所以,

所以的方程为．

（Ⅱ）（i）

法一：设点，显然直线存在斜率，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到，

因为为上面方程的一个根，所以，

所以

由，

代入得到，解得,

所以直线的斜率为．

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

显然，所以不存在直线，使得．

法二：（i）设点，显然直线存在斜率且不为，

设直线的方程为，

与椭圆方程联立得,

化简得到,

显然上面方程的一个根，所以另一个根，即,

由，

代入得到，解得．

所以直线的斜率为

（ii）因为圆心到直线的距离为，

所以．

因为，

代入得到

．

若，则，与直线存在斜率矛盾，

所以不存在直线，使得．

考查方向

本题考查了椭圆的综合求解能力，在近几年的各省高考题出现的频率较高．

解题思路

（Ⅰ）由椭圆的左顶点求出a，再有离心率求出c，进而求得b的值；

（Ⅱ）（i）联立方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式求得斜率k的值．

（ii）利用垂径定理求解．

易错点

计算量大，易出错．

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程圆锥曲线中的探索性问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：填空题

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填空题 · 17 分

20．已知椭圆上的左、右顶点分别为，，为左焦点，且，又椭圆过点。

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）点和分别在椭圆和圆上（点除外），设直线,的斜率分别为,，若，证明：,,三点共线。

正确答案

（1）椭圆C的方程为

（2）见解析

解析

本题属于直线与椭圆关系的基本问题，题目的难度是逐渐由易到难，

（1）根据题目条件和a、b、c的关系可求

（2）设出两个交点的坐标

（3）根据已知条件，求出斜率关系，最后得出结论。

解：（I）由已知可得a-c=2,b=,又,解得a=4。故所求椭圆C方程为．（II）由（I）知A（-4，0），B(4,0),设P（），Q（）,所以。

因为P（）在椭圆C上，所以即,所以。又因为所以①。由已知点Q（）在圆上，AB为圆直径，所以,所以，由①②可得，，因为直线PA,QA有共同点A，所以A、P、Q三点共线。

考查方向

本题考查了椭圆的基本性质以及直线与椭圆的位置关系等知识点，考查了学生分析问题与思考问题的能力，直线与圆锥曲线（特别是椭圆）的关系，是高考的重点内容，涉及的知识点较多，运算也比较复杂，对学生的运算能力有较高的要求，有时会与向量、距离、基本不等式、一元二次方程根与系数关系交汇在一起。

易错点

1、椭圆中a、b、c的关系会与双曲线中的搞错

2、第二问证三点共线，通常是证有公共点的两条直线的斜率相等（或者是采用向量的方法）

知识点

直线的倾斜角与斜率椭圆的定义及标准方程直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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题型：单选题

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单选题 · 5 分

11．过双曲线的左焦点，作圆的切线交双曲线右支于点，切点为，的中点在第一象限，则以下结论正确的是（）

A

B

C

D

正确答案

A

解析

连结P，则，选A

考查方向

本题考查学生的解析几何的综合运用的能力。

解题思路

将已知线段向焦半径转化，利用双曲线的性质解决。

易错点

1、不能正确地将已知条件进行转化；

2、解决综合问题的能力不强。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：填空题

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填空题 · 5 分

14.已知圆与抛物线的准线相切，则p=_________.

正确答案

或

解析

由圆的方程得到圆心坐标为，所以圆心到准线的距离，解得，故答案为。

考查方向

本题主要考查了直线与圆的位置关系，抛物线的简单性质。

解题思路

本题考查直线与圆的位置关系，抛物线的简单性质

易错点

本题熟记点到直线的距离公式，忘记则会出现错误。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

A

B

C

D

正确答案

D

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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