直线、圆及圆锥曲线的交汇问题_章节学习

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，在平面直角坐标系中，已知是椭上的一点，从原点向圆作两条切线，分别交椭圆于点．

24.若点在第一象限，且直线互相垂直，求圆的方程；

25.若直线的斜率存在，并记为，求的值；

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

（1）；

解析

（1）由圆的方程知圆的半径，因为直线互相垂直，且和圆相切，所以，即 ①又点在椭圆上，所以 ②

联立①②，解得，所以，所求圆的方程为．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

先根据题中条件求出圆心的坐标，后即可得到圆的方程；

易错点

不知题中给出的直线是切线，且互相垂直如何使用导致不能得到关于圆心的方程；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

（2）

解析

（2）因为直线和都与圆相切，所以，，化简得，因为点在椭圆上，所以，

即，所以．

考查方向

本题主要考查椭圆和圆的性质、直线和圆的位置关系等知识，意在考查考生的计算能力及逻辑推理能力。

解题思路

根据直线和圆相切得，，化简得到，后消元即可得到答案。

易错点

不会化简，得到。

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

6．经过点（2，1），且渐近线与圆相切的双曲线的标准方程为

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设渐近线方程为则根据题意得圆心

∴渐近线为

∴设双曲线方程为

考查方向

本题主要考察了双曲线的定义和方程，考察了双曲线的几何意义，考察了直线和圆的位置关系，难度系数不高，

解题思路

1）设渐近线方程（无法确定焦点位置）利用直线和圆的位置关系求渐近线

2）利用渐近线写出含参双曲线方程，带入坐标直接得出结果

易错点

本题易在双曲线焦点的判断

知识点

双曲线的几何性质双曲线的相关应用直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

已知曲线C的方程是（m＞0，n＞0），且曲线C过A（，），B（，）两点，O为坐标原点．

23.求曲线C的方程；

24.设M（x1，y1），N（x2，y2）是曲线C上两点，向量p＝（x1，y1），q＝（x2，y2），且p·q＝0，若直线MN过（0，），求直线MN的斜率．

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：（1）由题可得：，解得

所以曲线方程为

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

见解析

解析

解：

（2）设直线的方程为，代入椭圆方程为得：

∴，

∴=

∴

即

考查方向

本题考察了曲线方程的求解，考察了直线与曲线的位置关系

解题思路

1）根据题意联立解方程求出曲线方程

2）写出直线方程，与曲线联立，得到韦达定理

3）根据p·q＝0，得到x1，x2的关系

4）解方程得到结果

易错点

本题较简单，一般在计算出错和对p·q＝0处理出错

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

7．已知双曲线的离心率为，则双曲线的渐近线方

程为

A

B

C

D

正确答案

C

解析

，所以渐近线的方程为，所以选C选项。

考查方向

本题主要考查了双曲线的离心率和渐近线方程。

解题思路

先由离心率算出b/a的值，再求出渐近线的方程。

易错点

本题记错渐近线方程。

知识点

双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

10.设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆C：(x－5)2＋y2＝r2(r＞0)相切于点M，且M为线段AB中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是( )

A(1，3)

B(1，4)

C(2，3)

D(2，4)

正确答案

D

解析

不妨设直线，带人抛物线方程有：，则，又中点，则，即

代入，可得即，又由圆心到直线的距离等于半径，

可得，由可得故选D选项。

考查方向

本题主要考察直线与圆、圆锥曲线的位置关系等知识，意在考察考生的树形结合能力和运算推理能力。

解题思路

先设直线方程后代人消元得到判别式和中点，然后根据得到代人得到，最后利用圆和直线相切得到后即可得到答案。

易错点

不会转化题中给出的条件这样的直线l恰有4条；找不到r和t之间的关系导致没有思路。

知识点

抛物线的标准方程和几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

20．如图，已知椭圆，离心率，是椭圆上的任一点，从原点向圆：作两条切线，分别交椭圆于点．

（Ⅰ）若过点的直线与原点的距离为，求椭圆方程；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若直线的斜率存在，并记为．试问是否为定值？若是，求出该值；若不是，说明理由．

正确答案

（1）；（2）为定值。

解析

试题分析：本题属于直线与圆锥曲线的问题，

（1）由已知条件构造方程组求解（2）用设而不求的方法来解决．

（Ⅰ）因为离心率，所以，而所以，即 ① 设经过点的直线方程为

即

因为直线与原点的距离为

所以，整理得：② 由①②得所以椭圆的方程为

（Ⅱ）解：因为直线, 与圆M相切,由直线和圆相切的条件: ,可得, 平方整理,可得,
, 所以是方程的两个不相等的实数根, ,因为点在椭圆C上,所以,即,所以为定值;

考查方向

本题考查了直线与圆锥曲线的问题．

解题思路

本题考查直线与圆锥曲线的问题，解题步骤如下：

由已知条件构造方程组求解。

用设而不求的方法来解决。

易错点

不会利用设而不求的思想来解答。

知识点

椭圆的几何性质椭圆的相关应用圆锥曲线的定点、定值问题直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

1

题型：简答题

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简答题 · 15 分

如图，已知抛物线，圆，过点作不过原点O的直线PA，PB分别与抛物线和圆相切，A，B为切点.

注：直线与抛物线有且只有一个公共点，且与抛物线的对称轴不平行，则该直线与抛物线相切，称该公共点为切点.

20.求点A，B的坐标；

21.求△PAB的面积.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

；；

解析

试题分析：（1）利用点斜式方程，直线与抛物线相切，求出点A坐标；利用点关于直线对称点的求法得到点B的坐标；由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y＝k(x﹣t)(k≠0)，联立，可得，

∵，解得k＝t，

∴x=2t，∴．

圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，

∴，解得．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由直线PA的斜率存在，设切线PA的方程为：y=k（x﹣t）（k≠0），与抛物线方程联立，利用△=0，解得k=t，可得A坐标．圆的圆心D（0，1），设B，由题意可知：点B与O关于直线PD对称，解得B坐标．

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

；

解析

利用两点间距离公式公式和点到直线的距离公式求出三角形的底边长和高，求出三角形面积。

由（1）可得：，直线AB的方程为：，整理可得（t2﹣1）x﹣2ty+2t=0，

∴点P到直线AB的距离，

又．

∴．

考查方向

本小题主要考查抛物线、直线与抛物线及其圆的位置关系及其性质、垂直平分线的性质、点到直线的距离公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想、函数与方程思想，属于难题．

解题思路

由（1）可得AB方程：，可得点P到直线AB的距离d，又．即可得出△PAB的面积。

易错点

点关于直线对称点的计算，直线与圆锥曲线方程联立的计算.

1

题型：简答题

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简答题 · 13 分

如图，椭圆E：(a>b>0)的离心率是，点(0，1)在短轴CD上，且＝－1

25．求椭圆E的方程；

26.设O为坐标原点，过点P的动直线与椭圆交于A、B两点.是否存在常数λ，使得为定值？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

(I)由已知，点C，D的坐标分别为(0，－b)，(0，b)

又点P的坐标为(0，1)，且＝－1

于是，解得a＝2，b＝

所以椭圆E方程为.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

1.第（1）问直接根据题中给出的条件求解即可；

易错点

1.第（1）问的运算出错；

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

λ＝－1

解析

当直线AB斜率存在时，设直线AB的方程为y＝kx＋1

A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)

联立，得(2k2＋1)x2＋4kx－2＝0

其判别式△＝(4k)2＋8(2k2＋1)＞0

所以

从而＝x1x2＋y1y2＋λ[x1x2＋(y1－1)(y2－1)]

＝(1＋λ)(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1

＝

＝－

所以，当λ＝1时，－＝－3

此时，＝－3为定值

当直线AB斜率不存在时，直线AB即为直线CD

此时＝－2－1＝－3

故存在常数λ＝－1，使得为定值－3.

考查方向

本题主要考查椭圆的标准方程、直线方程等基础知识，意在考查推理论证能力、运算求解能力，数形结合、化归与转化、特殊与一般、分类与整合等数学思想.

解题思路

.第（2）问先联立消元导出韦达定理后代人要求的式子得到定值即可。

易错点

第（2）问的运算出错；第（2）问的＝－不会计算如何为定值。

1

题型：简答题

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简答题 · 12 分

如图，椭圆（>>0）的左右焦点分别为,,且过的直线交椭圆于P,Q两点，且PQ.（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

26.若||=2+，||=2-，求椭圆的标准方程.

27.若|PQ|=||，且，试确定椭圆离心率的取值范围.

第(1)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由椭圆的定义知可求出的值，再由及勾股定理可求得的值，最后由求得的值，从而根据椭圆的标准方程得到结果.

试题解析：由椭圆的定义，

设椭圆的半焦距为，由已知，因此

即

从而

故所求椭圆的标准方程为.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、勾股定理考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

本题椭圆的定义、标准方程、简单几何性质的应用，应用椭圆的定义及基本量间的关第易于求解，本题属于较难题，

易错点

注意运算的准确性.

第(2)小题正确答案及相关解析

正确答案

.

解析

试题分析：由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.解得，

故．再注意到从而,两边除以，得,若记，则上式变成.再由，并注意函数的单调性，即可求得离心率的取值范围。

试题解析：（2）如（1））图，由,得

由椭圆的定义，,进而

于是.

解得，故.

由勾股定理得,

从而,

两边除以，得,

若记，则上式变成.

由，并注意到关于的单调性，得，即，

进而，即.

考查方向

本题考查了椭圆的定义标准方程及不等式的性质、“换元法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

应用条件、椭圆的定义及勾股定理建军立离心率与的关系式，从而将离心率表示成为的函数，然后得用函数相关知识，求其值域，即是所求的范围，本题属于较难题，

易错点

函数思想方法的应用.

1

题型：单选题

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单选题 · 5 分

9．设双曲线的右焦点是F，左、右顶点分别是,过F做的垂线与双曲线交于B，C两点，若,则双曲线的渐近线的斜率为（）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

由已知得右焦点（其中，

，，

从而，又因为，

所以，即，

化简得到，即双曲线的渐近线的斜率为，

故选C.

考查方向

本题考查双曲线的性质，考查斜率的计算，考查学生分析解决问题的能力，比较基础．.

解题思路

本题考查双曲线的简单几何性质，利用向量垂直的条件来转化两直线垂直的条件而得到与的关系式来求解.

易错点

本题属于中档题，注意运算的准确性.

知识点

双曲线的定义及标准方程双曲线的几何性质直线、圆及圆锥曲线的交汇问题

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