- 基本不等式
- 共6247题
若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切于第一象限，则实数
正确答案
解析
解：若直线ax+by=1与圆x2+y2=1相切于第一象限，则 a＞0，b＞0 且圆心到直线的距离等于半径，即 
故有 a2+b2=1≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，即 ab最大值为 
∴
综上可得，实数
故答案为 
设数列{an}是公差为d的等差数列，其前n项和为Sn．已知a1=1，d=2，
①求当n∈N*时，
②证明：由①知Sn=n2，当n∈N*时，
正确答案
解：①∵a1=1，d=2，∴Sn=
当且仅当n=
故
②证明：由①知Sn=n2，当n∈N*时，
∴
=
=
∵
∴
故命题得证．
解析
解：①∵a1=1，d=2，∴Sn=
当且仅当n=
故
②证明：由①知Sn=n2，当n∈N*时，
∴
=
=
∵
∴
故命题得证．
已知a，b，c均为正数，证明：
正确答案
证明：
证法一：
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
所以
故
又
所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当
即当且仅当a=b=c=
证法二：
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理
故
所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=
解析
证明：
证法一：
因为a，b，c均为正数，由平均值不等式得
所以
故
又
所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立．当且仅当
即当且仅当a=b=c=
证法二：
因为a，b，c均为正数，由基本不等式得
所以a2+b2+c2≥ab+bc+ac①
同理
故
所以原不等式成立．
当且仅当a=b=c时，①式和②式等号成立，当且仅当a=b=c，（ab）2=（bc）2=（ac）2=3时，③式等号成立．
即当且仅当a=b=c=
已知a＞1，b＞0，a+b=2，则
正确答案
4
解析
解：∵a＞1，b＞0，a+b=2，
∴a-1＞0，a-1+b=1，
∴
=2+
当且仅当
故答案为：4
已知x＞-2，则f（x）=
正确答案
小
2
0
解析
解：∵x＞-2，∴f（x）=
故答案分别为：小，2，0．
下列不等式一定成立的是（ ）
Ax2+
Bsinx+
C
Dx+
正确答案
解析
解：A．当x=
B．∵x∈（0，π），∴sinx∈（0，1]，∴
C．∵a＞0，b＞0，∴（a+1）b-（b+1）a=b-a，当b＞a＞0时，
D．当x＜0时，左边＜0，因此不成立．
综上可知：只有D成立．
故选：D．
（1）设a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，求证
（2）已知a，b，c是不全相等的正数，求证：a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc．
正确答案
解：（1）∵a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，
∴
∴
（2）∵a，b，c是正数，∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴c（a2+b2）≥2abc，a（b2+c2）≥2abc，b（a2+c2）≥2abc．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc．
∵a，b，c是不全相等的正数，∴等号不成立．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc．
解析
解：（1）∵a，b，c∈（0，+∞），且a+b+c=1，
∴
∴
（2）∵a，b，c是正数，∴a2+b2≥2ab，b2+c2≥2bc，a2+c2≥2ac，
∴c（a2+b2）≥2abc，a（b2+c2）≥2abc，b（a2+c2）≥2abc．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）≥6abc．
∵a，b，c是不全相等的正数，∴等号不成立．
∴a（b2+c2）+b（c2+a2）+c（a2+b2）＞6abc．
已知正数m，n满足mn=m+n+3，则mn的取值范围为______．
正确答案
[9，+∞）
解析
解：∵正数m，n满足mn=m+n+3，
∴mn≥
化为
解得
∴mn的取值范围为：[9，+∞），
故答案为：[9，+∞）．
若x＞3，则x+
正确答案
5
解析
解：∵x＞3，∴x-3＞0．
∴x+
∴x+
故答案为：5．
函数y=logax+1（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny-1=0上，其中mn＞0，则
正确答案
3+2
解析
解：由函数y=logax+1（a＞0，a≠1），令x=1，可得y=1．
∴此函数图象恒过定点A（1，1），
∵点A在直线mx+ny-1=0上，∴m+n=1．
∵mn＞0，∴
故
故答案为：
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