- 基本不等式
- 共6247题
在对角线有相同长度的所有矩形中，怎样的矩形周长最长，怎样的矩形面积最大？
正确答案
解：（1）设对角线有相同长度d，矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x2+y2=d2，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，周长取到最大值2
（2）由（1）矩形面积S=xy=
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值
解析
解：（1）设对角线有相同长度d，矩形的两邻边长分别为x，y，
由题意可得x2+y2=d2，
∴矩形周长c=2（x+y），
∴c2=4（x+y）2=4（x2+y2+2xy）≤4（x2+y2+x2+y2）=8d2，
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，c2取到最大值8d2，周长取到最大值2
（2）由（1）矩形面积S=xy=
当且仅当x=y，即矩形为正方形时，矩形面积的最大值
已知直角三角形斜边长等于6cm，则面积的最大值为______．
正确答案
9
解析
解：设直角三角形的两直角边分别为a，b，
由直角三角形的斜边长为6可得：
a2+b2=36≥2ab，
∴ab≤18
故直角三角形的面积S=
故斜边长为6的直角三角形的面积的最大值为9，
故答案为：9．
若直线ax+by=1过点A（b，a），则以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积的最小值是______．
正确答案
π
解析
解：∵直线ax+by=1过点A（b，a），
∴2ab=1
∵
∴以坐标原点O为圆心，OA长为半径的圆的面积为
S=π（a2+b2）≥2πab=π
当且仅当a=b时取等号
故答案为：π
把总长为16m的篱笆，要围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是______m2．
正确答案
16
解析
解：设一边长为x，则另一边长可表示为8-x，
则面积S=x（8-x）=-x2+8x=-（x-4）2+16，0＜x＜8
故当矩形的长与宽相等，都为4时面积取到最大值16
故应填16．
（2015秋•安徽期末）已知正数x，y满足2x+y=1，则4x2+y2+
正确答案
解析
解：正数x，y满足2x+y=1，
可得2x+y≥2
即有0＜xy≤
则4x2+y2+
=1-（4xy-
令t=xy，0＜t≤
由4t-
可得t=
则4x2+y2+
故答案为：
已知a＞0，b＞0，a2+
正确答案
解析
解：∵b2=2-2a2≥0，a＞0，
∴1-a2＞0，解得0＜a＜1．
∴y=a
=
=
=
=
≤
=
当且仅当a2=
“=”成立．
函数y的最大值为
故答案为：
（1）试用x表示菜地的宽；
（2）试问当x为多少时，菜地及过道的总面积y有最小值，最小值为多少？
正确答案
解：（1）由题意，菜地的宽为
（2）
当且仅当
所以，当x=4时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为72平方米．-----------（8分）
解析
解：（1）由题意，菜地的宽为
（2）
当且仅当
所以，当x=4时，菜地及过道的总面积有最小值，最小值为72平方米．-----------（8分）
正确答案
解：设矩形游泳池的长为am，宽为bm，
由题意知：ab=1800，
则所用空地的面积S=（a+12）（b+6）=ab+6a+12b+72=1872+6（a+2b）
≥1872+6×2
当且仅当a=2b=60，取得等号．
答：当空地的长为72m，宽为36m，使所用空地的面积最小．
解析
解：设矩形游泳池的长为am，宽为bm，
由题意知：ab=1800，
则所用空地的面积S=（a+12）（b+6）=ab+6a+12b+72=1872+6（a+2b）
≥1872+6×2
当且仅当a=2b=60，取得等号．
答：当空地的长为72m，宽为36m，使所用空地的面积最小．
某地区有100户农民，都从事水产养殖．据了解，平均每户的年收入为3万元．为了调整产业结构，当地政府决定动员部分农民从事水产加工．据估计，如果能动员x（x＞0）户农民从事水产加工，那么剩下的继续从事水产养殖的农民平均每户的年收入有望提高2x%，而从事水产加工的农民平均每户的年收入将为
（1）在动员x户农民从事水产加工后，要使从事水产养殖的农民的总年收入不低于动员前从事水产养殖的农民的总年收入，求x的取值范围；
（2）若0＜x≤25，要使这100户农民中从事水产加工的农民的总年收入始终不高于从事水产养殖的农民的总年收入，求a的最大值．
正确答案
解：（1）由题意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x2-50x≤0，解得0≤x≤50，
∵x＞0，∴0＜x≤50；
（2）从事水产加工的农民的年总收入为3（a-
从事水产种植农民的年总收入为3（100-x）（1+2x%）万元，
根据题意得，3（a-
即ax≤100+x+
又x＞0，∴a≤
而
由（0，25]为
∴a的最大值为6．
解析
解：（1）由题意得3（100-x）（1+2x%）≥3×100，
即x2-50x≤0，解得0≤x≤50，
∵x＞0，∴0＜x≤50；
（2）从事水产加工的农民的年总收入为3（a-
从事水产种植农民的年总收入为3（100-x）（1+2x%）万元，
根据题意得，3（a-
即ax≤100+x+
又x＞0，∴a≤
而
由（0，25]为
∴a的最大值为6．
用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？
正确答案
解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，
则有V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x，（0＜x＜24）
求导可得到：V′=12x2-552x+4320
由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36．
所以当x＜10时，V′＞0，
当10＜x＜36时，V′＜0，
当x＞36时，V′＞0，
所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，
所以当x=10，V有最大值V（10）=19600
故答案为当高为10，最大容积为19600．
解析
解：根据题意可设容器的高为x，容器的体积为V，
则有V=（90-2x）（48-2x）x=4x3-276x2+4320x，（0＜x＜24）
求导可得到：V′=12x2-552x+4320
由V′=12x2-552x+4320=0得x1=10，x2=36．
所以当x＜10时，V′＞0，
当10＜x＜36时，V′＜0，
当x＞36时，V′＞0，
所以，当x=10，V有极大值V（10）=19600，又V（0）=0，V（24）=0，
所以当x=10，V有最大值V（10）=19600
故答案为当高为10，最大容积为19600．
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