- 基本不等式
- 共6247题
用总长为6m的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为（ ）
正确答案
解析
解：设容器的底面的相邻两边长分别为3xm，4xm，则高为（1.5-7x）m．
由1.5-7x＞0和x＞0，得0＜x＜
设容器的容积为Vm3，则有V=3x•4x（1.5-7x），（0＜x＜
整理，得V=-84x3+18x2，
∴V′=-252x2+36x．
令V′=0，有x=
从而在定义域（0，
这时，高=0.5m．
故选：A．
已知函数f（x）=-2x2+4mx-1
（1）若m=2，θ∈（0，
（2）若对于任意的x∈[-1，1]，y=f（x）的最大值为7，求m的值．
正确答案
解：（1）m=2，f（x）=-2x2+8x-1
∴
∵θ∈（0，
∴sinθ＞0，
∴2sinθ+
∴
∴
（2）函数f（x）=-2x2+4mx-1的对称轴为x=m，
m＜-1，y=f（x）的最大值为f（-1）=-2-4m-1=7，∴m=-2.5；
m＞1，y=f（x）的最大值为f（1）=-2+4m-1=7，∴m=2.5；
-1≤m≤1，y=f（x）的最大值为f（m）=2m2-1=7，∴m=±2（舍去）．
解析
解：（1）m=2，f（x）=-2x2+8x-1
∴
∵θ∈（0，
∴sinθ＞0，
∴2sinθ+
∴
∴
（2）函数f（x）=-2x2+4mx-1的对称轴为x=m，
m＜-1，y=f（x）的最大值为f（-1）=-2-4m-1=7，∴m=-2.5；
m＞1，y=f（x）的最大值为f（1）=-2+4m-1=7，∴m=2.5；
-1≤m≤1，y=f（x）的最大值为f（m）=2m2-1=7，∴m=±2（舍去）．
第一届全国青年运动会将于2015年10月18日在福州举行．主办方在建造运动会主体育场时需建造隔热层，并要求隔热层的使用年限为15年．已知每厘米厚的隔热层建造成本是4万元，设每年的能源消耗费用为C（万元），隔热层厚度为x（厘米），两者满足关系式：C（x）=
（Ⅰ）求f（x）的表达式；
（Ⅱ）请问当隔热层的厚度为多少厘米时，15年的总费用f（x）最小，并求出最小值．
正确答案
解：（Ⅰ）依题意，当x=0时，C=6，∴
故
（Ⅱ）
当且仅当
∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．…（12分）
解析
解：（Ⅰ）依题意，当x=0时，C=6，∴
故
（Ⅱ）
当且仅当
∴隔热层修建5厘米厚时，总费用达到最小值，最小值为60万元．…（12分）
求下列函数的最大值．
（1）y=2x（1-2x）（0＜x＜
（2）y=（3x+2）（1-3x）（-
正确答案
解：（1）由0＜x＜
y=2x（1-2x）≤[
当且仅当2x=1-2x，即x=
（2）由-
则y=（3x+2））1-3x）≤（
当且仅当3x+2=1-3x，即x=-
解析
解：（1）由0＜x＜
y=2x（1-2x）≤[
当且仅当2x=1-2x，即x=
（2）由-
则y=（3x+2））1-3x）≤（
当且仅当3x+2=1-3x，即x=-
现有一段长为18m的铁丝，要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架，当长方体体积最大时，底面的较短边长是（ ）
正确答案
解析
解：设该长方体的宽是x米，由题意知，其长是2x米，
高是
则该长方体的体积V（x）=x•2x•（
=
当且仅当3x=9-6x，即x=1时，取得最大值3；
或由V′（x）=18x（x-1）=0，得到x=1，
且当0＜x＜1时，V′（x）＞0；
当1＜x＜
即体积函数V（x）在x=1处取得极大值V（1）=3，
也是函数V（x）在定义域上的最大值．
所以该长方体体积最大值时，
x=1即长方体体积最大时，底面的较短边长是1m．
故选：A．
设x∈Z．y∈Z满足xy+2=2（x+y），则x2+y2的最大值是______．
正确答案
25
解析
解：∵xy+2=2（x+y），
∴（x-2）（y-2）=2，
∵x∈Z．y∈Z，
∴不妨取x-2=-1，y-2=-2或x-2=2，y-2=1，
∴x=1，y=0或x=4，y=3，
∴x2+y2的最大值是25，
故答案为：25．
制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的亏损．某投资人打算投资甲、乙两个项目．根据预测，甲、乙项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大亏损分别为30%和10%．投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元．问投资人对甲、乙两个项目各投资多少万元，才能使可能的盈利最大？
正确答案
解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则
设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，
当
答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．
解析
解：设投资人对甲、乙两个项目各投资x和y万元，则
设z=x+0.5y=0.25（x+y）+0.25（3x+y）≤0.25×10+0.25×18=7，
当
答：投资人对甲、乙两个项目分别投资4万元和6万元时，才能使可能的盈利最大．
设有一个容积V一定的铝合金盖的圆柱形铁桶，已知单位面积铝合金的价格是铁的3倍，当总造价最少时，桶高为（ ）
A
B
C2
D2
正确答案
解析
解：设圆柱形铁桶的底面半径为r，则其高为
记单位面积铁的价格为a，
故其总造价y=a（2πr•
=a（
y′=a（-
故当r∈（0，
当r∈（
故y=a（
在（
故当r=
故选C．
①对于任意正实数a，b，∵
只有当a=b时，等号成立．
②结论：在
只有当a=b时，a+b有最小值
（Ⅱ）结论运用：根据上述内容，回答下列问题：（提示：在答题卡上作答）
①若m＞0，只有当m=______时，
②若m＞1，只有当m=______时，
（Ⅲ）探索应用：
学校要建一个面积为392m2的长方形游泳池，并且在四周要修建出宽为2m和4m的小路（如图）．问游泳池的长和宽分别为多少米时，共占地面积最小？并求出占地面积的最小值．
正确答案
解：（II）①当m=
∵m＞0，
∴m=1，
∴
②
当2m-2=
∵m＞1，
∴m=3，
∴
（ III）设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为
得
整理y=424+4（x+
当且仅当x=
所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648 m2． …（12分）
解析
解：（II）①当m=
∵m＞0，
∴m=1，
∴
②
当2m-2=
∵m＞1，
∴m=3，
∴
（ III）设游泳池的长为x m，则游泳池的宽为
得
整理y=424+4（x+
当且仅当x=
所以游泳池的长为28m，宽14m时，占地面积最小，占地面积的最小值是648 m2． …（12分）
（1）试用α表示△AA1H1的面积；
（2）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时α的大小．
正确答案
解：（1）设AH1为x，∴
（2）令
只需考虑
即为
当
此时八角形所覆盖面积的最大值为
解析
解：（1）设AH1为x，∴
（2）令
只需考虑
即为
当
此时八角形所覆盖面积的最大值为
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