热门试卷

解：（I）因为，

又因为当x=0时，f（0）=0，

所以方程f（x）﹣x=0有实数根0．

所以函数是的集合M中的元素．

（II）假设方程f（x）﹣x=0存在两个实数根α，β（α≠β），

则f（α）﹣α=0，f（β）﹣β=0不妨设α＜β，根据题意存在数c（α，β）

使得等式f（β）﹣f（α）=（β﹣α）f'（c）成立．

因为f（α）=α，f（β）=β，且α≠β，

所以f'（c）=1，

与已知0＜f'（x）＜1矛盾，

所以方程f（x）﹣x=0只有一个实数根；

（III）不妨设x2＜x3，因为f'（x）＞0，

所以f（x）为增函数，

所以f（x2）＜f（x3），

又因为f'（x）﹣1＜0，

所以函数f（x）﹣x为减函数，

所以f（x2）﹣x2＞f（x3）﹣x3，

所以0＜f（x3）﹣f（x2）＜x3﹣x2，

即|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|，

所以|f（x3）﹣f（x2）|＜|x3﹣x2|=|x3﹣x1﹣（x2﹣x1）|≤|x3﹣x1|+|x2﹣x1|＜2

（1）证明：设函数，

则．

令f'（x）=0，得x=．

当时，f'（x）＞0，故函数f（x）在上递增；

当时，f'（x）＜0，故函数f（x）在上递减；

所以，

对任意的x＞0，不等式总成立．

（2）证明：由（1）知：对x∈（0，+∞）均有，

故．

当n=1时，结论显然成立；

当n≥2时，有=

≤＜

==．．

综上可知，对任意的n∈N*，不等式成立．

（I）函数的导数为f′(x)=a-，因为函数在x=0处取得极值，所以f'（0）=0，解得a=1．

即f′(x)=1-==．

因为x≥0，所以ln（1+x）≥0，x2+x≥0，所以此时f'（x）≥0，即函数在[0，+∞）上单调递增．

（Ⅱ）  由（I）知f(x)=x-，所以an+1=f(an)=an-，下面用数学归纳法证明an＞0．

①当n=1时，an=1＞0，成立．

②假设当n=k，（n∈N•）时ak＞0．因为函数f（x）在[0，+∞）上单调递增，所以f（ak）＞f（0）=0，所以an+1=f（an）＞0成立．

综上an＞0．又an-an+1=，因为an＞0，所以an-an+1=＞0，即an＞an+1．

而a1=1，所以0＜an+1＜an≤l成立．

所以由①②可知0＜an+1＜an≤l成立．

（Ⅲ）由（II）知，0＜an+1＜an≤l，所以＜，1+＜1+，即＜，所以＞＞0．

所以=⋅⋅⋅⋅＜⋅⋅⋅⋅=(

a1

1+a1

)n．

所以sn=++…+

＜()+(

a1

1+a1

)2+…+(

a1

1+a1

)n=＜=a1=1

所以sn＜1．

解：（1）g（x）=f（x）-ax=lnx+x2-ax，

由题意，知g'（x）≥0，x∈（0，+∞）恒成立，

即

又x>0，，当且仅当时等号成立

故，

所以。

（2）由（1）知，

由h'（x）=0，得或（舍去），

∴

∴

①若，则h'（x）＜0，h（x）单调递减；

②若，则h'（x）>0，h（x）单调递增

故当时，h（x）取得极小值，

极小值为。

（3）假设F（x）在（x0，F（x0））的切线平行于x轴，

其中F（x）=2lnx-x2-kx

结合题意有，

①-②得

所以，

由④得

所以

设∈（0，1），⑤式变为（u∈（0，1）），

设

所以函数在（0，1）上单调递增，

因此，，即

也就是，，此式与⑤矛盾，

所以F（x）在（x0，F（x0））处的切线不能平行于x轴。