- 反证法与放缩法
- 共409题
已知a，b，c∈（0，1）．
（1）若(1-a)b＞
（2）求证：（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于
正确答案
（1）a，b，c∈（0，1），∴1-a＞0，b＞0．
∵(1-a)b＞
故 
（2）证明：假设（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数都大于 
同理可得
把这三个不等式相加可得
从而得到假设不成立，即（1-a）b，（1-b）c，（1-c）a三数中至少有一个小于或等于
A是由定义在[2，4]上且满足如下条件的函数φ（x）组成的集合：
（1）对任意x∈[1，2]，都有φ（2x）∈（1，2）；
（2）存在常数L（0＜L＜0），使得对任意的x1，x2∈[1，2]，都有|ϕ（2x1）-ϕ（2x2）|≤L|x1-x2|．
（Ⅰ）设φ（x）=
（Ⅱ）设φ（x）∈A，如果存在x0∈（1，2），使得x0=φ（2x0），那么这样的x0是唯一的；
（Ⅲ）设φ（x）∈A，任取xn∈（1，2），令xn+1=φ（2nx），n=1，2，…，证明：给定正整数k，对任意的正整数p，不等式|xk+p-xk|≤
正确答案
（本小题满分13分）
（Ⅰ）对任意x∈[1，2]，φ（2x）∈（1，2）；x∈[1，2]，
对任意的x1，x2∈[1，2]，|ϕ（2x1）-ϕ（2x2）|=|x1-x2|
3＜
所以0＜
≤L|x1-x2|，
令
|ϕ（2x1）-ϕ（2x2）|≤L|x1-x2|，所以φ（x）∈A．…（5分）
（Ⅱ）反证法：设存在两个x0，x0′∈（1，2），x0≠x0′使得x0′=φ（2x0′），
则由|φ（2x0）-φ（2x0′）|≤L|x0-x0′|，得）|x0-x0′|≤L|x0-x0′|，所以L≥1，矛盾，故结论成立．…（8分）
（Ⅲ）|x3-x2|=|ϕ（2x2）-ϕ（2x1）|≤L|x2-x1|，
所以|xn+1-xn|=|ϕ（2xn）-ϕ（2xn-1|≤L|xn-xn-1|≤L2|xn-1-xn-2|…
≤Ln-1|x2-x1||xk+p-xk|=|（xk+p-xk+p-1）+（xk+p-1-xk+p-2）+…+（xk+1-xk）|
≤|xk+p-xk+p-1|+|xk+p-1-xk+p-2|+…+|xk+1-xk|
≤Lk+p-2|x2-x1|+Lk+p-3|x2-x1|+…+Lk-1|x2-x1|
=
命题“a，b是实数，若|a-1|+|b-1|=0，则a=b=1”，用反证法证明时，应先假设______．
正确答案
由题意，即考虑a=b=1的否定，由于a，b都等于1，故否定为a，b不都等于1，
故答案为：a，b不都等于1．
用反证法证明命题“如果a＞b，那么
正确答案
由于 
根据用反证法证明命题的方法，应先假设要证结论的否定成立，
故应假设：
故答案为：
用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，假设部分的内容应为______．
正确答案
证明：用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”时，
应假设命题的否定成立，而命题“三角形的内角中至少有一个内角不大于60°”的否定是：
三角形的三个内角都大于60°，
故答案为 三角形的三个内角都大于60°．
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