热门试卷

见解析

法一：因为a、b、c均为正数，由平均值不等式得

a2＋b2＋c2≥3(abc)，①

≥3(abc)－，②

所以2≥9(abc)－.

故a2＋b2＋c2＋2≥3(abc)＋9(abc)－.

又3(abc)＋9(abc)－≥2＝6 ，③

所以原不等式成立．

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立．

当且仅当3(abc)＝9(abc)－时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

法二：因为a，b，c均为正数，由基本不等式得

a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ac，

所以a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ac.①

同理≥，②

故a2＋b2＋c2＋2≥ab＋bc＋ac＋3＋3＋3≥6.③

所以原不等式成立，

当且仅当a＝b＝c时，①式和②式等号成立，当且仅当a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3时，③式等号成立．

即当且仅当a＝b＝c＝3时，原式等号成立．

（1）函数的单调减区间为，单调增区间为，函数的最小值为；

（2）.

试题分析：（1）先将代入函数解析式，并将函数的解析式表示为分段函数，然后求出对应定义域上的单调区间，并求出相应的最小值；（2）利用（1）的结论证明，再利用放缩法得到，最后借助同向不等式具备相加性以及累加法得到

.

试题解析：（1） 

当时, 

在区间上是递增的 

当时, 

在区间上是递减的.

故时,的增区间为,减区间为, 

(2) 由(1)可知,当时,有即 

=.

证明略

证明 方法一 ∵+3

=

="(a+b+c)"

=［(a+b)+(a+c)+(b+c)］

≥ (·+·+·)2=.∴+≥.

方法二 令,则

∴左边=

≥=.

∴原不等式成立.

证明略

证法一:(分析综合法）

欲证原式，即证4(ab)2+4(a2+b2)－25ab+4≥0，

即证4(ab)2－33(ab)+8≥0，即证ab≤或ab≥8.

∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立

∵1=a+b≥2，∴ab≤，从而得证.

证法二：(均值代换法)

设a=+t1，b=+t2.

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴t1+t2=0，|t1|＜，|t2|＜

显然当且仅当t=0，即a=b=时，等号成立.

证法三:(比较法）

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤

证法四：(综合法)

∵a+b=1，a＞0，b＞0，∴a+b≥2，∴ab≤.

证法五：(三角代换法）

∵a＞0，b＞0，a+b=1，故令a=sin2α，b=cos2α，α∈(0，)