热门试卷

解：（1），得

设，则

（i）当时，是以为首项，为公差的等差数列

即

∴；

（ii）当时，设

则

令，得

∴

知是等比数列

∴

又

∴

∴；

（2）（i）当时，，故时，命题成立；

（ii）当时，

，…，

以上n个式子相加得

故当时，命题成立

综上（i）（ii）知命题成立。

解：由f（1）=1，得a=b=1，。

（1）先求出

猜想

用数学归纳法证明

当n=1显然成立；

假设n=k成立，即

则得证。

（2）我们证明，事实上

我们注意到

于是

∴。

解：（Ⅰ）m=9时，数列为9，1，2，0，3，3，3，3，

即前六项为9，1，2，0，3，3。

（Ⅱ）；

 （Ⅲ），

由（Ⅱ）可得，

为定值且单调不增，

∴数列必将从某项起变为常数，

不妨设从l项起为常数，则，

于是，

所以，

所以{an}当n≥l+1时成为常数列。

解：（1））∵an+1=2an+1（n∈N*），

∴an+1+1=2（an+1），

∴{an+1}是以a1+1=2为首项，2为公比的等比数列

∴an+1=2n即an=2n-1（n∈N*）。

（2）∵

∴

∴2[（b1+b2+…+bn）-n]=nbn，①

2[（b1+b2+…+bn+bn+1）-（n+1）]=（n+1）bn+1 ②

②-①，得2（bn+1-1）=（n+1）bn+1-nbn，

即（n-1）bn+1-nbn+2=0，③

nbn+2-（n+1）bn+1+2=0 ④

③-④，得nbn+2-2nbn+1+nbn=0，

即bn+2-2bn+1+bn=0，

∴bn+2-bn+1=bn+1-bn（n∈N*），

∴{bn}是等差数列。

（3）∵，k=1，2，3，···，n

∴

∵，k=1，2，3，···，n

∴

∴。