热门试卷

证明：（充分性）∵函数y=f （x）是R上的增函数

∴当a+b＞0时，a＞-b，b＞-a

∴f（a）＞f（-b），f（b）＞f（-a）

∴f（a）+f（b）＞f（-a）+f（-b）

∴充分条件成立

（必然性）反证法证明：

假设a+b≤0

则a≤-b，b≤-a

又∵函数y=f （x）是R上的增函数

∴f（a）≤f（-b），f（b）≤f（-a）

∴f（a）+f（b）≤f（-a）+f（-b）

与条件矛盾

∴假设并不成立

∴a＞b

∴必要条件成立

∴a+b＞0是f （a）+f （b）＞f （-a）+f （-b）的充要条件

故答案为：充要条件

证明：（1）假设函数f（x）为偶函数，则f（-x）=f（x），

∴lg(-1)=lg(-1)，即-1=-1，化简得：=0，

∴a=0，与条件a＞0矛盾，

∴函数f（x）不能为偶函数．…（7分）

（2）充分性：由a=1，函数f(x)=lg(-1)=lg，

∵＞0，∴-1＜x＜1，

又f（x）+f（-x）=lg+lg=lg1=0，

∴当a=1时，函数f（x）为奇函数．…（10分）

必要性：由函数f（x）为奇函数，即f（x）+f（-x）=0，

∴f（x）+f（-x）=lg()+lg()=0，化简得（2a-1）2=1，

∵a＞0，∴a=1，

∴当函数f（x）为奇函数时，a=1．…（14分）

（注：必要性的证明也可由定义域的对称性得到a=1）

（Ⅰ）若{an}为2，1，4，3，2，1，4，3…，是一个周期为4的数列，∴d1=A1-B1=2-1=1，

d2=A2-B2=2-1=1，d3=A3-B3=4-1=3，d4=A4-B4=4-1=3．

（Ⅱ）充分性：设d是非负整数，若{an}是公差为d的等差数列，则an=a1+（n-1）d，

∴An=an=a1+（n-1）d，Bn=an+1=a1+nd，∴dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．

必要性：若 dn=An-Bn=-d，（n=1，2，3，4…）．假设ak是第一个使ak-ak-1＜0的项，

则dk=Ak-Bk=ak-1-Bk≥ak-1-ak＞0，这与dn=-d≤0相矛盾，故{an}是一个不减的数列．

∴dn=An-Bn=an-an+1=-d，即 an+1-an=d，故{an}是公差为d的等差数列．

（Ⅲ）证明：若a1=2，dn=1（n=1，2，3，…），则{an}的项不能等于零，否则d1=2-0=2，矛盾．

而且还能得到{an}的项不能超过2，用反证法证明如下：

假设{an}的项中，有超过2的，设am是第一个大于2的项，则dm=Am-Bm=am-1＞1，

这与已知dn=1相矛盾，故假设不对，

即{an}的项不能超过2，故{an}的项只能是1或者2．

下面用反证法证明{an}的项中，有无穷多项为1．

若ak是最后一个1，则ak是后边的各项的最小值都等于2，故dk=Ak-Bk=2-2=0，矛盾，

故{an}的项中，有无穷多项为1．

综上可得，{an}的项只能是1或者2，且有无穷多项为1．

（1）由题意得：f′(x)=．令f'（x）=0，得x=．

当x∈(e-1，)时，f'（x）＞0，故函数f（x）在[e-1，]上递增；

当x∈(，e)时，f'（x）＜0，故函数f（x）在[，e]上递减．

又因为f（e-1）=-e2，f()=，f(e)=，所以当k＞或k＜-e2时，没有交点；

当k=或-e2≤k＜时，有唯一的交点；当≤k＜时，有两个交点．

（2）证明：由（1）知函数f（x）在(0，)上递增，在(，+∞)上递减，

故f（x）在（0，+∞）上的最大值为．

即对x∈（0，+∞）均有≤，故=•≤•．

当n=1时，结论显然成立；当n≥2时，有+++…+  

=0+•+•+…+•≤(++…+) 

＜(++…+)=(-+-+…+-) 

=(-)＜．

综上可知，对任意的n∈N*，不等式+++…+＜成立．