直线的交点坐标与距离公式
共2610题

直线的交点坐标与距离公式
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题型：简答题

简答题

（（本小题满分12分）

已知点，一动圆过点且与圆内切．

（1）求动圆圆心的轨迹的方程；

（2）设点，点为曲线上任一点，求点到点距离的最大值；

（3）在的条件下，设△的面积为（是坐标原点，是曲线上横坐标为的点），以为边长的正方形的面积为．若正数使得恒成立，问是否存在最小值，若存在，请求出此最小值，若不存在，请说明理由．

正确答案

．解：（Ⅰ）设圆心坐标为，则动圆的半径为，

又动圆与内切，所以有

化简得

所以动圆圆心轨迹C的方程为．………………………………4分

（Ⅱ）设，则

，令，，所以，

当，即时在上是减函数，；

当，即时，在上是增函数，

在上是减函数，则；

当，即时，在上是增函数，．

所以，．…………………………………………8分

（Ⅲ）当时,,于是,,

若正数满足条件，则，即，

，令，

设，则，，

于是，

所以，当，即时，，

即，．所以，存在最小值．………………………………12分

略

题型：填空题

填空题

直线：被圆截得的弦的长是 .

正确答案

试题分析：圆心为，半径为，圆心到直线的距离为，因为圆心与弦AB中点的连线垂直平分弦，所以，解得。

题型：填空题

填空题

已知动圆圆心在抛物线y2＝4x上，且动圆恒与直线x＝－1相切，则此动圆必过定点___

正确答案

（1，0）

略

题型：填空题

填空题

如果直线与圆交于M、N两点,且M、N关于直线2x+y=0对称，则直线l被圆截得的弦长为_________

正确答案

略

题型：简答题

简答题

已知动圆过定点P（1，0），且与定直线L:x=-1相切，点C在l上.

(1)求动圆圆心的轨迹M的方程；

（i）问：△ABC能否为正三角形？若能，求点C的坐标；若不能，说明理由

（ii）当△ABC为钝角三角形时，求这种点C的纵坐标的取值范围.

正确答案

（1）y2=4x（2）不存在；当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

（1)依题意，曲线M是以点P为焦点，直线l为准线的抛物线，所以曲线M的方程为y2=4x.

假设存在点C（－1，y），使△ABC为正三角形，则|BC|=|AB|且|AC|=|AB|，即

因此，直线l上不存在点C，使得△ABC是正三角形.

（ii）解法一：设C（－1，y）使△ABC成钝角三角形，

，

∠CAB为钝角.

该不等式无解，所以∠ACB不可能为钝角.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是:

解法二：以AB为直径的圆的方程为:

当直线l上的C点与G重合时，∠ACB为直角，当C与G 点不重合，且A，

B，C三点不共线时， ∠ACB为锐角，即△ABC中∠ACB不可能是钝角.

因此，要使△ABC为钝角三角形，只可能是∠CAB或∠CBA为钝角.

A，B，C三点共线，不构成三角形.

因此，当△ABC为钝角三角形时，点C的纵坐标y的取值范围是：

题型：简答题

简答题

已知：矩形的两条对角线相交于点,边所在直线的方程为：，点在边所在直线上。

（1）求矩形外接圆的方程。

(2)是的内接三角形，其重心的坐标是,求直线的方程 .

正确答案

（1）的方程为（2）直线的方程为

（1）设点坐标为

且又在上

即点的坐标为

又点是矩形两条对角线的交点点即为矩形外接圆的圆心，其半径的方程为

（2）连延长交于点，则点是中点,连

是的重心，

是圆心，是中点, 且

即直线的方程为

题型：填空题

填空题

点P是曲线x2-y-1nx=0上的任意一点，则点P到直线y=x-2的最小距离______．

正确答案

点P是曲线y=x2-lnx上任意一点，当过点P的切线和直线y=x-2平行时，

点P到直线y=x-2的距离最小．

由于直线y=x-2的斜率等于1，令y=x2-lnx的导数 y′=2x-=1，x=1，或 x=-（舍去），

故曲线y=x2-lnx上和直线y=x-2平行的切线经过的切点坐标（1，1），

点（1，1）到直线y=x-2的距离等于，故点P到直线y=x-2的最小距离为，

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知圆C：（α为参数），直线l：x-2y+3=0，则圆心C到直线l的距离为 ______．

正确答案

利用三角函数的平方关系，消去参数，可得到圆的标准方程：（x-4）2+（y-3）2=1，∴圆心坐标C（4，3），半径为1，

由圆心到直线的距离公式知：d==，

故答案为．

题型：填空题

填空题

若圆上恰有两点到直线（的距离等于1，则的取值范围为

正确答案

试题分析：由圆，得到,圆心P坐标为（1，-2），半径为2，∵圆上恰有两点到直线（的距离等于1，

∴圆心到直线的距离满足，即，解得，

答案为．

题型：简答题

简答题

已知点M（3,1），直线与圆。

（1）求过点M的圆的切线方程；

（2）若直线与圆相切，求a的值；

（3）若直线与圆相交与A,B两点，且弦AB的长为，求a的值。

正确答案

(1)和(2)或(3)

试题分析：（1）点在圆外，故切线有两条件,当斜率不存在时即时满足与M相切，当斜率存在时可设点斜式直线方程,再由圆心到直线的距离等于半径求出由此能求出两条件切线方程．

（2）由与圆相切知圆心到直线的距离等于半径得，由此能求出a．

（3）圆心到直线的距离，圆的半径，由，能求出a．

试题解析：

（1）圆心,半径,当切线的斜率不存在是，方程为.由圆心到直线的距离知，此时直线与圆相切。

当切线的斜率存在时，设切线方程为,

即.

由题意知，解得k=,

∴切线方程为，即.

故国M点的圆的切线方程为和.

（2）由题意知，解得或

（3）∵圆心到直线的距离为

∴解得.

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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