直线的交点坐标与距离公式
共2610题

直线的交点坐标与距离公式
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题型：填空题

填空题

在极坐标系中，极点到直线ρcosθ=2的距离为______．

正确答案

直线ρcosθ=2 即 x=2，极点的直角坐标为（0，0），故极点到直线ρcosθ=2的距离为2，

故答案为 2．

题型：简答题

简答题

选修4-4：《坐标系与参数方程》

在直接坐标系xOy中，直线l的方程为x-y+4=0，曲线C的参数方程为（α为参数）

（I）已知在极坐标（与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴）中，点P的极坐标为（4，），判断点P与直线l的位置关系；

（Ⅱ）设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线l的距离的最小值．

正确答案

（I）把极坐标系下的点（4，）化为直角坐标，得P（0，4）．

因为点P的直角坐标（0，4）满足直线l的方程x-y+4=0，

所以点P在直线l上．…（5分）

（II）设点Q的坐标为（cosα，sinα），

则点Q到直线l的距离为d==cos（α+）+2

由此得，当cos（α+）=-1时，d取得最小值，且最小值为．…（10分）

题型：简答题

简答题

已知圆，设点是直线上的两点，它们的横坐标分别是，点在线段上，过点作圆的切线，切点为．

(1)若，求直线的方程；

(2)经过三点的圆的圆心是，求线段(为坐标原点）长的最小值．

正确答案

（1）或；（2）.

试题分析：(1)因为点在线段上，所以可假设点的坐标，又根据，所以可求出点的坐标，同时要检验一下使得点符合在线段上，再通过假设直线的斜率，利用点到直线的距离等于圆的半径即可求出直线的斜率，从而得到切线方程；(2)因为经过三点的圆的圆心是，求线段 (为坐标原点)长，通过假设点的坐标即可表示线段的中点的坐标(因为)，根据两点间的距离公式写出的表达式，接着关键是根据的范围讨论，因为的值受的大小决定的，要分三种情况讨论即i) ；ii) ；iii) ；分别求出三种情况的最小值即为所求的结论.

试题解析：（1）设

解得或（舍去）

由题意知切线的斜率存在，设斜率为

所以直线的方程为，即

直线与圆相切，，解得或

直线的方程是或 6分

（2）设

与圆相切于点

经过三点的圆的圆心是线段的中点

的坐标是

设

当，即时，

当，即时,

则.

题型：填空题

填空题

如图，在△ABC和△ACD中，∠ACB＝∠ADC＝90°，∠BAC＝∠CAD，⊙O是以AB为直径的圆，DC的延长线与AB的延长线交于点E. 若EB＝6，EC＝6，则BC的长为．

正确答案

试题分析：∵AB是⊙O的直径，∠ACB＝90°，

∴点C在⊙O上．连接OC，可得∠OCA＝∠OAC＝∠DAC，

∴OC∥AD.又∵AD⊥DC，∴DC⊥OC.

∵OC为⊙O半径，∴DC是⊙O的切线．

∵DC是⊙O的切线，∴EC2＝EB·EA.又∵EB＝6，EC＝，

∴EA＝12，AB＝6.又∠ECB＝∠EAC，∠CEB＝∠AEC，

∴△ECB∽△EAC，∴，即AC＝BC.

又∵AC2＋BC2＝AB2＝36，∴BC＝2.

题型：填空题

填空题

直线被圆所截得的弦长为________.

正确答案

试题分析：如图：

设的圆心为A（2,0），则A到的距离为，在中OA=2，所以OB=1，所以直线被圆所截得的弦长为2.

题型：简答题

简答题

已知一个圆C和轴相切,圆心在直线上,且在直线上截得的弦长为,求圆C的方程.

正确答案

因为圆心在直线上,可设圆心坐标为,然后再根据圆C和轴相切可得,直线上截得的弦长为利用弦长公式可得r与t的另一个关系式，两式联立可求出r,t的值，从而得到圆C的方程.

解：∵圆心在直线上,∴设圆心C的坐标为

∵圆C与轴相切, ∴圆的半径为

设圆心到的距离为,则

又∵圆C被直线上截得的弦长为,

∴由圆的几何性质得:,解得

∴圆心为或,

∴圆C的方程为:

题型：填空题

填空题

在极坐标系中，点M(4，)到曲线ρcos(θ-)=2上的点的距离的最小值为 ______

正确答案

点M(4，)的直角坐标为（2，2），

曲线ρcos(θ-)=2上的直角坐标方程为：

x+y-4=0，

根据点到直线的距离公式得：

d==2．

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

已知方程x2+y2+kx+2y+k2=0所表示的圆有最大的面积,则直线y=(k-1)x+2的倾斜角α=　　　　.

正确答案

r=≤1,当有最大半径时有最大面积,此时k=0,r=1,∴直线方程为y=-x+2,设倾斜角为α,则由tanα=-1且α∈[0,π)得α=.

题型：填空题

填空题

圆C:x2+y2+2x-2y-2=0的圆心到直线3x+4y+14=0的距离是　　　　.

正确答案

因为圆心坐标为(-1,1),所以圆心到直线3x+4y+14=0的距离为=3.

题型：简答题

简答题

已知圆C：，其中为实常数．

（1）若直线l：被圆C截得的弦长为2，求的值；

（2）设点，0为坐标原点，若圆C上存在点M，使|MA|="2" |MO|，求的取值范围．

正确答案

（1）；（2）.

试题分析：(1)圆C的圆心为,半径为3，由此可得圆心到直线的距离.

再由点到直线的距离公式得：解之即得.

（2）显然满足的M点也形成一轨迹，由可得M点轨迹方程为.所以点M在以D（－1，0）为圆心，2为半径的圆上.

又点M在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，从而，由此即得的取值范围.

试题解析：(1)由圆的方程知，圆C的圆心为,半径为3 1分

设圆心C到直线的距离为，因为直线被圆C截得的弦长为2，所以

所以.

再由点到直线的距离公式得：，解之得 5分

（2）设，由得：即 7分

所以点M在以D（－1，0）为圆心，2为半径的圆上.

又点M在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，从而 9分

即，解得

即 .11分

故的取值范围为. 12分

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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