- 弹性碰撞和非弹性碰撞
- 共325题
某同学用一个光滑的半圆形轨道和若干个大小相等、可视为质点的小球做了三个有趣的实验，轨道固定在竖直平面内，且两端同高。第一次，他将一个小球从离轨道最低点的竖直高度处由静止沿轨道下滑（远小于轨道半径），用秒表测得小球在轨道底部做往复运动的周期为；第二次，他将小球放在轨道的最低点，使另一个小球从轨道最高点由静止沿轨道滑下并与底部的小球碰撞，结果小球返回到原来高度的1/4，小球也上滑到同样的高度；第三次，用三个质量之比为m1:m2:m3＝5:3:2的小球做实验，如图所示，先将球2和3放在轨道的最低点，球1从某一高度由静止沿轨道下滑，它们碰后上升的最大高度分别为1、2和3，不考虑之后的碰撞。设实验中小球间的碰撞均无能量损失。重力加速度为。求：
（1）半圆形轨道的半径；
（2）第二次实验中两小球的质量之比mA:mB；
（3）第三次实验中三个小球上升的最大高度之比h1:h2:h3。
正确答案
解：（1）第一次实验中，小球的运动可以看做摆长为的单摆，根据单摆周期公式有：
所以
（2）第二次实验中，球从高为处释放，设球与球碰撞前瞬间的速度大小为，碰撞后瞬间它们速度的大小分别为和。由题意知，球与碰后达到的高度均为
所以
又根据动量守恒定律有
所以
（3）根据题意设球1、2、3的质量分别为5、3和2。设球1与球2碰撞前后的速度分别为1、v1'，球2与球3碰撞前后的速度分别为、v2'，球3与球2碰撞后的速度为v3。球1与球2碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
球2与球3碰撞过程中动量守恒，且机械能守恒，则有
解得
在三个小球的上升过程中，根据机械能守恒定律有
解得
如图所示，一个物块A（可看成质点）放在足够长的平板小车B的右端，A、B一起以v0的水平初速度沿光滑水平面向左滑行。左边有一固定的竖直墙壁，小车B与墙壁相碰，碰撞时间极短，且碰撞前、后无动能损失。已知物块A与小车B的水平上表面间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。
（1）若A、B的质量均为m，求小车与墙壁碰撞后的运动过程中，物块A所受摩擦力的冲量大小和方向；
（2）若A、B的质量比为k，且k＜1，求物块A在小车B上发生相对运动的过程中物块A对地的位移大小；
（3）若A、B的质量比为k，且k=2，求小车第一次与墙壁碰撞后的运动过程所经历的总时间。
正确答案
解：（1）设小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v，设向右为正方向，则由动量守恒定律得mv0－mv0=2mv
解得v=0
对物块A，由动量定理得摩擦力对物块A的冲量I=0－（－mv0）=mv0，冲量方向水平向右
（2）设A和B的质量分别为km和m，小车B与墙碰撞后物块A与小车B所达到的共同速度大小为v′，木块A的位移大小为s。设向右为正方向，则由动量守恒定律得：mv0－kmv0=（m+km）v′
解得v′=
对木块A由动能定理
代入数据解得
（3）当k=2时，根据题意由于摩擦的存在，经B与墙壁多次碰撞后最终A、B一起停在墙角。A与B发生相对运动的时间t0可等效为A一直做匀减速运动到速度等于0的时间，在A与B发生相对滑动的整个过程，对A应用动量定理：
解得时间
设第1次碰后A、B达到的共同速度为v1，B碰墙后，A、B组成的系统，没有外力作用，水平方向动量守恒，设水平向右为正方向，由动量守恒定律，得mv0－2mv0=（2m+m）v1
即
第1次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v1这段运动的位移s1
对小车B，由动能定理得-μ2mgs1=
解得s1=
第1次碰后小车B向左匀速运动时间
设第2次碰后共速为v2，由动量守恒定律，得mv1－2mv1=（2m+m）v2
即
第2次碰后小车B向左匀速运动的位移等于向右匀减速运动到速度大小为v2这段运动的位移s2
对小车B，由动能定理得-μ2mgs2=
解得s2=
第2次碰后小车B向左匀速运动时间
同理，设第3次碰后共速为v3，碰后小车B向左匀速运动的位移为s3，则由动量守恒定律，得
第3次碰后小车B向左匀速运动时间
由此类推，第n次碰墙后小车B向左匀速运动时间
第1次碰墙后小车B向左匀速运动时间即B从第一次撞墙后每次向左匀速运动时间为首项为t1，末项为tn，公比为
（1）如图1，在光滑水平长直轨道上，放着一个静止的弹簧振子，它由一轻弹簧两端各联结一个小球构成，两小球质量相等。现突然给左端小球一个向右的速度u0，求弹簧第一次恢复到自然长度时，每个小球的速度。
（2）如图2，将N个这样的振子放在该轨道上。最左边的振子1被压缩至弹簧为某一长度后锁定，静止在适当位置上，这时它的弹性势能为E0。其余各振子间都有一定的距离。现解除对振子1的锁定，任其自由运动，当它第一次恢复到自然长度时，刚好与振子2碰撞，此后，继续发生一系列碰撞，每个振子被碰后刚好都是在弹簧第一次恢复到自然长度时与下一个振子相碰。求所有可能的碰撞都发生后，每个振子弹性势能的最大值。已知本题中两球发生碰撞时，速度交换，即一球碰后的速度等于另一球碰前的速度。
正确答案
解：（1）设小球质量为m，以u1、u2分别表示弹簧恢复到自然长度时左右两端小球的速度。由动量守恒和能量守恒定律有
mu1+mu2=mu0（以向右为速度正方向）
解得u1=u0，u2=0或u1=0，u2=u0
由于振子从初始状态到弹簧恢复到自然长度的过程中，弹簧一直是压缩状态，弹性力使左端持续减速，使右端小球持续加速，因此应该取：u1=0，u2=u0
（2）以v1、v1'分别表示振子1解除锁定后弹簧恢复到自然长度时左右两小球的速度，规定向右为速度的正方向。由动量守恒和能量守恒定律有
mv1+mv1'=0
解得v1=
在这一过程中，弹簧一直压缩状态，弹性力使左端小球向左加速，右端小球向右加速，故应取解：v1＝－
振子1与振子2碰撞后，由于交换速度，振子1右端小球速度变为0，左端小球速度仍为v1，此后两小球都向左运动。当它们向左的速度相同时，弹簧被拉伸至最长，弹性势能最大。设此速度为v10，根据动量守恒有2mv10=mv1
用E1表示最大弹性势能，由能量守恒有：
解得E1＝
如图，半径为R的光滑圆形轨道固定在竖直面内。小球A、B质量分别为m、βm(β为待定系数)。A球从左边与圆心等高处由静止开始沿轨道下滑，与静止于轨道最低点的B球相撞，碰撞后A、B球能达到的最大高度均为，碰撞中无机械能损失。重力加速度为g。试求：
（1）待定系数β；
（2）第一次碰撞刚结束时小球A、B各自的速度和B球对轨道的压力；
（3）小球A、B在轨道最低处第二次碰撞刚结束时各自的速度，并讨论小球A、B在轨道最低处第n次碰撞刚结束时各自的速度。
正确答案
解：（1）由
（2）设A、B碰撞后的速度分别为v1、v2，则
设向右为正、向左为负，解得
设轨道对B球的支持力为N，B球对轨道的压力为N′，方向竖直向上为正、向下为负
则
N′=-N=-4.5mg，方向竖直向下
（3）设A、B球第二次碰撞刚结束时的速度分别为V1、V2，则
解得
由此可得：当n为奇数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第一次碰撞刚结束时相同；
当n为偶数时，小球A、B在第n次碰撞刚结束时的速度分别与其第二次碰撞刚结束时相同
如图，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R=0.2 m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E=5.0×103 V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度υ0沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞。已知甲、乙两球的质量均为m=1.0×10-2 kg，乙所带电荷量q=2.0×10-5 C，g取10 m/s2。（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程无电荷转移）
（1）甲乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）在满足（1）的条件下，求的甲的速度υ0；
（3）若甲仍以速度υ0向右运动，增大甲的质量，保持乙的质量不变，求乙在轨道上的首次落点到B点的距离范围。
正确答案
解：（1）在乙恰好能通过轨道的最高点的情况下，设乙到达最高点的速度为
联立①②③得：
（2）设碰撞后甲、乙的速度分别为
联立⑤⑥得：
由动能定理得：
联立①⑦⑧得：
（3）设甲的质量为M，碰撞后甲、乙的速度分别为
联立⑽⑾得：
由⑿和
设乙球过D点的速度为
联立⑨⒀⒁得：
设乙在水平轨道上的落点到B点的距离为
联立②⒂⒃得：
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