热门试卷

x=1是方程的一个根．于是只要考虑二次方程5x2-5px+66p-1=0的两个根为正整数即可．

设此二正整数根为u、v．则由韦达定理知，

消去p，得5uv-66（u+v）=-1．同乘以5：52uv-5×66u-5×66v=-5．

∴（5u-66）（5v-66）=662-5=4351=19×229．由于u、v均为整数，故5u-66、5v-66为整数．

∴

或

或

或

∴其中使u、v为正整数的，只有u=17，v=59这一组值．此时p=76．

（Ⅰ）∵f3(x)=x3-3x-1，∴f3′(x)=3x2-3，

∵当x＞1时，f3′(x)＞0；当0＜x＜1时，f3′(x)＜0．

∴当x=1时，f3（x）取得极小值-3，无极大值；

（Ⅱ）函数fn（x）在区间(，)上有且只有一个零点．

证明：

∵fn()=()3-n-1=-1＜0，

fn()=()3-n-1=-1＞0，

fn()•fn()＜0，∴函数fn（x）在区间(，)上必定存在零点．

∵fn′(x)=3x2-n，∴当x∈(，)时，fn′(x)＞3()2-n=2n＞0，

∴fn（x）在区间(，)上单调递增，

∴函数fn（x）在区间(，)上的零点最多一个．

综上知：函数fn（x）在区间(，)上存在唯一零点．

（1）由已知得f′(x)=4x-=，xk

则当0＜x＜1时f'（x）＜0，可得函数f（x）在（0，1）上是减函数，

当x＞1时f′（x）＞0，可得函数f（x）在（1，+∞）上是增函数，

故函数的极小值为f（1）=2；

（2）若存在，设f（xi）-g（xi）=m（i=1，2，3），则对于某一实数m，方程f（x）-g（x）=m在（0，+∞）上有三个不同的实数根，设F（x）=f（x）-g（x）-m=2x2-alnx+cos2x-m，

则F′(x)=4x--2sin2x(x＞0)有两个不同的零点，即关于x的方程4x2-2xsin2x=a（x＞0）有两个不同的解G（x）=4x2-2xsin2x（x＞0），

则G'（x）=8x-2sin2x-4xcos2x=2（2x-sin2x）+4x（1-cos2x），

设h（x）=2x-sin2x，则h′（x）=2-2cos2x≥0，故h（x）在（0，+∞）上单调递增，

则当x＞0时h（x）＞h（0）=0，即2x＞sin2x，

又1-cos2x＞0，则G′（x）＞0故G（x）在（0，+∞）上是增函数，

则a=4x2-2xsin2x（x＞0）至多只有一个解，故不存．

方法二：关于方程4x--2sin2x=0(x＞0)的解，

当a≤0时，由方法一知2x＞sin2x，此时方程无解；

当a＞0时，由于H′(x)=4+-4cos2x＞0，

可以证明H(x)=4x--2sin2x(x＞0)是增函数，此方程最多有一个解，故不存在．

证明：设f（x）=5x2-7x-1，

∵

即

且y=f（x）的图象在（-1，0）和（1，2）上是连续不断的曲线，

∴方程的根在（-1，0）上，另一个根在（1，2）上．