- 函数的零点与方程根的联系
- 共2760题
若方程lgkx=2lg（x+1）仅有一个实根，那么k的取值范围是______．
正确答案
由题意，当k＞0时，函数定义域是（0，+∞），当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
当k＞0时，lgkx=2lg（x+1）
∴lgkx-2lg（x+1）=0
∴lgkx-lg（x+1）2=0，即kx=（x+1）2在（0，+∞）仅有一个解
∴x2-（k-2）x+1=0在（0，+∞）仅有一个解
令f（x）=x2-（k-2）x+1
又当x=0时，f（x）=x2-（k-2）x+1=1＞0
∴△=（k-2）2-4=0
∴k-2=±2
∴k=0舍，或4
k=0时lgkx无意义，舍去
∴k=4
当k＜0时，函数定义域是（-1，0）
函数y=kx是一个递减过（-1，-k）与（0，0）的线段，函数y=（x+1）2在（-1，0）递增且过两点（-1，0）与（0，1），此时两曲线段恒有一个交点，故k＜0符合题意
故答案为：k=4或k＜0．
已知f（x）=x3+bx+cx+d在（﹣∞，0）上是增函数，在[0，2]上是减函数，且方程f（x）=0有三个根，它们分别为α，2，β．
（1）求c的值；
（2）求证f（1）≥2；
（3）求|α﹣β|的取值范围．
正确答案
解：（1）∵f（x）在（﹣∞，0]上是增函数，在（0，2]上是减函数；
∴x=0是f'（x）=0的根，
又∵f'（x）=3x2+2bx+c，
∵f'（0）=0，
∴c=0．
（2）∵f（x）=0的根为α，2，β，
∴f（2）=0，∴8+4b+d=0，
又∵f'（2）≤0，
∴12+4b≤0，∴b≤﹣3，
又d=﹣8﹣4b
∴d≥4
f（1）=1+b+d，f（2）=0
∴d=﹣8﹣4b且b≤﹣3，
∴f（1）=1+b﹣8﹣4b=﹣7﹣3b≥2
（3）∵f（x）=0有三根α，2，β；
∴f（x）=（x﹣α）（x﹣2）（x﹣β）=x3﹣（α+β+2）● x2﹣2αβ；
∴
|β﹣α|2 =（α+β）2﹣4αβ=（b+2）2 +2d
=b2 +4b+4﹣16﹣8b=b2﹣4b﹣12=（b﹣2）2﹣16
又∵b≤﹣3，
∴|β﹣α|≥3
已知函数f（x）=（x2-3x+3）·ex，设f（-2）=m，f（t）=n。
（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[-2，t]上为单调函数；
（2）当t＞-2时，判断f（-2）和f（t）的大小，并说明理由；
（3）求证：当1＜t＜4时，关于x的方程：
正确答案
解：（1）因为
由
由
所以
在
要使
则
（2）
在
∴
又
∴
从而当
（3）∵
又∵
∴
令
从而问题转化为证明当
方程
∵
当
但由于
所以
已知函数
（Ⅰ）如果函数y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，求a的取值范围；
（Ⅱ）是否存在实数a＞0，使得方程
正确答案
解：（Ⅰ）当a=0时，f（x）=2x在[1，+∞）上是单调增函数，符合题意．
当a＞0时，y=f（x）的对称轴方程为
由于y=f（x）在[1，+∞）上是单调增函数，
所以
当a＜0时，不符合题意．
综上，a的取值范围是a≥0．
（Ⅱ）把方程
即为方程ax2+（1﹣2a）x﹣lnx=0．
设H（x）=ax2+（1﹣2a）x﹣lnx（x＞0），
原方程在区间（
即为函数H（x）在区间（
令H′（x）=0，因为a＞0，解得x=1或
当x∈（0，1）时，H′（x）＜0，H（x）是减函数；
当x∈（1，+∞）时，H′（x）＞0，H（x）是增函数．
H（x）在（
只需
∴
所以a的取值范围是（
已知函数 (x) ＝（2 －a ）（x －1 ）－2lnx ，（a ∈R ，e 为自然对数的底数）
（1 ）当a ＝1 时，求 (x) 的单调区间；
（2 ）若函数 (x) 在（0 ，
正确答案
解：（Ⅰ）当 a=1时，
由
故
（Ⅱ）因为 
只要对任意的
令 
再令 
于是
从而
于是
只要
综上，若函数 
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