- 指数函数的实际应用
- 共1991题
（文）已知函数f(x)=2x-
（1）若f（x）=2，求x的值；
（2）若2tf（2t）+mf（t）≥0对于t∈[2，3]恒成立，求实数m的取值范围．
正确答案
（1）当x＜0时，f（x）=0；当x≥0时，f(x)=2x-
由条件可知 2x-
解得 2x=1±
（2）当t∈[2，3]时，2t( 22t-
即 m（22t-1）≥-（24t-1）．∵22t-1＞0，∴m≥-（22t+1）．…（13分）∵t∈[2，3]，∴-（1+22t）∈[-65，-17]，
故m的取值范围是[-17，+∞）．…（16分）
某企业生产一种产品时，固定成本为5 000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x-
（1）把利润表示为年产量的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大．
正确答案
（1）利润y是指生产数量x的产品售出后的总收入R（x）与其总成本C（x）之差，
由题意，当x≤5时，产品能全部售出，利润y=5x-
当x＞5时，只能销售500台，利润y=(5×5-
∴y=
=
（2）在0≤x≤5时，y=-
当x=-
当x＞5 百台时，y＜12-0.25×5=10.75，…（11分）
∴当生产4.75百台即475台时，利润最大． …（12分）
设函数f（x）的定义域是（-∞，+∞），满足条件：存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2），对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）成立．求：（1）f（0）； （2）对任意值x，判断f（x）值的正负．
正确答案
（1）∵对任何x和y，f（x+y）=f（x）•f（y）
令y=0
则f（x）=f（x）•f（0）
又∵存在x1≠x2，使得f（x1）≠f（x2），
即函数不为常数函数，即f（x）=0不成立
∴f（0）=1．
（2）令y=x≠0，
则f（2x）=f（x）•f（x）=f2（x）≥0
又由（1）中f（x）≠0，
∴f（2x）＞0，即f（x）＞0，
故对任意x，f（x）＞0恒成立．
已知函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
（1）求实数k，a的值；
（2）若函数g(x)=
正确答案
（1）∵函数f（x）=k•a-x（k，a为常数，a＞0且a≠1）的图象过点A（0，1），B（3，8）．
∴k=1，且k•a-3=8
解得k=1，a=
（2）函数g（x）为奇函数，理由如下：
由（1）得f（x）=
∴函数g(x)=
则g（-x）=
∴函数g（x）为奇函数
已知甲、乙两个工厂在今年的1月份的利润都是6万元，且甲厂在2月份的利润是14万元，乙厂在2月份的利润是8万元。若甲、乙两个工厂的利润（万元）与月份之间的函数关系式分别符合下列函数模型：f(x)=a1x2+b1x+6，g(x)=a2·3x+b2，(a1，a2，b1，b2∈R)。
（1）求甲、乙两个工厂今年5月份的利润；
（2）在同一直角坐标系下画出函数f(x)与g(x)的草图，并根据草图比较今年甲、乙两个工厂的利润的大小情况．
正确答案
解：（1）依题意，有
∴
由
∴
所以甲在今年5月份的利润为f（5）=86万元，乙在今年5月份的利润为g（5）=86万元，
故有f（5）=g（5），即甲、乙两个工厂今年5月份的利润相等。
（2）作函数图象如下：
从图中，可以看出今年甲、乙两个工厂的利润：
当x=1或x=5时，有f(x)= g(x)；
当1＜x＜5时，有f(x)＞g(x)；
当5＜x≤12时，有f(x)＜g(x)。
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